Свойства операций над событиями.

Некоторые свойства операций над событиями постулируются, другие легко могут быть получены с помощью диаграмм Венна. Приведем без доказательства основные из этих свойств.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

Алгебра и сигма-алгебра событий.

Пусть является пространством всех элементарных исходов для какого-нибудь случайного эксперимента, каждому результату которого соответствует ровно одна точка . Выделим совокупность подмножеств множества и потребуем, чтобы содержало как случайные события , так и события, полученные в результате применения любой из операций к любым элементам системы.

Совокупность случайных событий (подмножеств множества ), определенных на пространстве элементарных исходов , называется алгеброй событий (или булевой алгеброй), если выполнены следующие условия:

1. ;

2. Если и , то для любых и ;

3. Если , то .

Оказывается, что условий 1 – 3 достаточно для того, чтобы любое конечное число других операций над случайными событиями не выводило бы нас за пределы алгебры . Для экспериментов с конечным числом исходов множество всех подмножеств , включающее пустое множество , составляет алгебру. Поэтому для таких экспериментов любое подмножество множества может интерпретироваться как наблюдаемое событие.

Во многих задачах теории вероятностей приходится иметь дело и с бесконечным числом элементарных исходов и, следовательно, операций. Это потребовало введения понятия -алгебры событий .

Система подмножеств множества , называется -алгеброй, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. ;

2. Если , то и

3. Если , то .

Таким образом, счетное число операций суммирования или перемножения событий не выводит результирующее событие за пределы –алгебры.

Лекция 3. Методы определения вероятностей событий

Вероятность является количественной мерой возможности появления события. Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое.

Классическое определение вероятности события. Случаи равновероятных исходов.

Классическое определение вероятности связано с определением благоприятствующего исхода. Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события. Вероятность события равна отношению числа равновозможных благоприятствующих элементарных исходов к общему числу всех равновозможных элементарных исходов данного испытания:

,

где ­– число благоприятствующих событию исходов;

– общее число возможных исходов.

Примеры:1. Кубик, 2. Какова вероятность того, что в произвольном двузначном числе две цифры одинаковы (9/90 = 0.1), 3. Из букв слова “дифференциал” выбирается одна буква. Какова вероятность того, что это а) гласная, б) буква “ф”.

Из определения вероятности события следует, что , поэтому всегда выполняются неравенства , т.е. вероятность любого события есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

• Если , то событие невозможное.

• Если , то событие достоверное.

• Равновозможные элементарные события являются равновероятными, т.е. обладают одной и той же вероятностью.

Теорема. Эквивалентные события имеют одинаковые вероятности, т.е. если , то .

Доказательство. Действительно, каждый элементарный исход события является таким же элементарным исходом для события и наоборот. В силу формулы справедливо равенство .

Если событие происходит всякий раз после того, как произошло событие , то говорят, что из события следует событие ( ). Например, для любых двух событий и справедливо и .

Теорема. Если , то .

Доказательство. Пусть и – число благоприятных элементарных исходов соответственно для событий и , а – общее число элементарных исходов. Так как каждый элементарный исход для события является также элементарным исходом для события , то и, следовательно, . Пример: выпадение четного числа очков более вероятно, чем выпадение двойки.

Теорема. Вероятность события , противоположного событию равна

.

Доказательство. Пусть полная система равновозможных элементарных исходов содержит событий, из которых ( ), благоприятны событию . Тогда исходов неблагоприятны событию , т.е. благоприятствуют событию . Таким образом,

.

Классическое определение вероятности предполагает, что

• число элементарных исходов конечно;

• эти исходы равновозможны.

Однако на практике встречаются испытания с бесконечным числом возможных исходов. Кроме того, нет общих методов, позволяющих результат испытания, даже с конечным числом исходов, представить в виде суммы равновозможных элементарных исходов. Поэтому применение классического определения вероятности весьма ограничено. Пример: кубик со смещенным центром тяжести.