Выборочные уравнения регрессии.
Для
определения значений теоретических
коэффициентов, входящих в уравнения
регрессии, необходимо знать и использовать
все
значения переменных генеральной
совокупности, что практически невозможно.
В связи с этим по
выборке ограниченного объема
строится так называемое выборочное
(эмпирическое) уравнение регрессии.
Из-за ограниченности
выборки
оценки коэффициентов, входящих в
выборочное уравнение регрессии,
отличаются от истинных (теоретических)
значений, что приводит к несовпадению
эмпирической и теоретической линий
регрессии. Различные выборки из одной
и той же генеральной совокупности обычно
приводят к отличающимся друг от друга
оценкам. Задача состоит в том, чтобы по
конкретной выборке
найти оценки неизвестных параметров
так, чтобы построенная линия регрессии
являлась наилучшей среди всех других
линий.
Линейная регрессия
Если функция регрессии линейна, то говорят о линейной регрессии. Линейная регрессия (линейное уравнение) является распространенным (и простым) видом зависимости между экономическими переменными. Для простейшего случая парной линейной регрессии
или
,
где
- теоретические параметры регрессии;
- случайное отклонение.
По выборке ограниченного объема строится выборочное уравнение регрессии
,
(1)
где
- оценки неизвестных параметров
,
называемые выборочными
коэффициентами регрессии,
- оценка условного математического
ожидания
.
Для величин
справедлива формула
,
(2)
где
- оценка теоретического отклонения
.
Построенная прямая выборочной регрессии должна наилучшим образом описывать эмпирические данные, т.е. коэффициенты должны быть такими, чтобы случайные отклонения были минимальны. Наиболее распространенным методом нахождения коэффициентов уравнения регрессии является метод наименьших квадратов (МНК).
Если по выборке требуется определить оценки выборочного уравнения регрессии (2), то вводится в рассмотрение и минимизируется функция
.
Необходимым условием существования минимума данной функции двух переменных является равенство нулю ее частных производных по неизвестным параметрам :
.
Отсюда
,
и выразив из последних соотношений коэффициенты, получим
. (3)
где
введены обозначения
.
Пример.
Для
анализа зависимости объема потребления
Y(у.е.)
хозяйства от располагаемого дохода
X(у.е.)
отобрана следующая выборка объема
|
107 |
109 |
110 |
113 |
120 |
122 |
123 |
128 |
136 |
140 |
145 |
150 |
|
102 |
105 |
108 |
110 |
115 |
117 |
119 |
125 |
132 |
130 |
141 |
144 |
Необходимо определить вид уравнения регрессии и по методу наименьших квадратов оценить параметры уравнения регрессии, а также спрогнозировать потребление при доходе X=160.
План
решения.
Строится корреляционное поле. По
расположению точек на корреляционном
поле предполагается, что зависимость
Y
от X
– линейная. По МНК определяются
коэффициенты
.
Таким образом, уравнение парной регрессии
имеет вид:
