76

Белорусский государственный университет

Факультет радиофизики и компьютерных технологий

Электронный вариант конспекта лекций по спецкурсу «методы оптико-физических измерений»

(для студентов 4 курса специальности Н 02.02 – «Радиофизика» специализация Н 02.02.03 «Квантовая радиофизика и лазерные системы»)

Семестр 6. Общее количество часов – 66, лекционных – 32, лабораторных –34.

Подготовил

доцент Кобак И. А.

Минск, 2011

Введение

Д.И.Менделеев говорил: «Наука начинается с тех пор как начинают измерять, точная наука немыслима без меры».

Значение измерений в современной науке и технике трудно переоценить. Среди них оптические измерения играют весьма важную роль. Это связано с тем, что современные оптические приборы широко применяются в народном хозяйстве нашей страны, служат основой научно-технического прогресса. Постоянно повышаются требования к качеству оптических приборов, расширяются области их применения, создаются принципиально новые тиры оптических систем и приборов.

Оптические методы и средства измерений применяются не только при изготовлении оптических приборов. Они используются для исследования физических характеристик и параметров лазерного излучения в химии астрономии и др.

Оптические измерения – наука, основным содержанием которой является измерение и контроль конструктивных параметров оптических элементов и систем, а также измерение физических характеристик изучаемых объектов с помощью оптических методов и оптических приборов. Измерение параметров оптико-электронных приборов, применение электроники и вычислительной техники в процессе измерений в настоящее время является обычным явлением. Главная особенность оптических измерений заключается в том, что обеспечивают высокую точность и наглядность, позволяя наблюдателю «видеть» погрешности измеряемого или контролируемого объекта. Например, при исследовании формы поверхности оптических деталей интерференционным методом можно не только обнаружить погрешности поверхности, но и измерить их значение с высокой точностью по искривлению интерференционных полос.

,

Погрешности измерений

Результат любого измерения всегда получается приближенным, т. е. содержащим погрешность относительно истинного значения измеряемой величины. Истинным называют значение физической величины, которое идеальным образом отражало бы в качественном и количественном отношениях существующее свойство объекта исследования. Различают погрешности систематические, случайные и промахи (или грубые).

Систематическими называются погрешности, значения которых постоянны по величине и знаку или изменяющееся по определенному закону во всех измерениях производимых одним и тем же методом с помощью одних и тех же измерительных приборов при неизменных внешним условиях. Источниками систематических погрешностей являются чаще всего конструктивные недостатки измерительных приборов (криволинейность направляющих, неправильная установка приборов, неточная градуировка шкал и др.). Поэтому их иногда называют инструментальными. Систематические погрешности отличаются тем, что их можно изучить опытным путем и, введя соответствующие поправки, исключить.

Однако и после учета всех известных систематических погрешностей повторные измерения одной и той же величины отличаются друг от друга, и эти различия имеют случайную неизвестную нам величину и знак. Поэтому такие погрешности называются случайными. Устранение случайных погрешностей опытным путем принципиально невозможно. Однако их влияние на результаты измерений может быть оценено теоретически при помощи некоторых средних величин, если провести ряд измерений и обработать их методами теории вероятностей и математической статистики.

Грубыми погрешностями называются такие погрешности, которые резко превышают допустимые значения и явно искажают результат измерения. Источником грубых погрешностей может быть невнимательность экспериментатора, резко и кратковременно изменившиеся внешние условия измерений, внезапная разъюстировка прибора и т. п. Грубые погрешности выявляют при повторных измерениях и обязательно исключают из результатов измерений.

В практике измерений различают также абсолютные и относительны погрешности. Погрешности, выраженные в единицах измеряемой величины, называются абсолютными погрешностями. Погрешности, выраженные в долях числовых значений измеряемых величин, называются относительными погрешностями и чаще всего выражаются в процентах.

Нормальный закон распределения случайных погрешностей

Как отмечалось выше, из-за весьма многочисленных и принципиально неустранимых факторов, обуславливающих случайные погрешности, результат каждого отдельного измерения A_i будет отличаться от истинного значения X измеряемой величины. Разность A_i – X = ∆X_i называют случайной погрешностью отдельного измерения (или ряда измерений). Истинное значение Х измеряемой величины всегда нам неизвестно, и поэтому предсказать результат каждого отдельного измерения невозможно. Однако, проведя большое число измерений исследуемой величины, можно на основании теории вероятностей обнаружить следующие статистические закономерности:

1.Аксиома случайности. При очень большом числе измерений, случайные погрешности как положительные, так и отрицательные встречаются одинаково часто.

2.Аксиома распределения. Малые погрешности встречаются чаще, чем большие.

Эти статистические закономерности справедливы только при многократном повторении измерений исследуемой величины. После обработки результатов этих измерений получается не абсолютно достоверный, а наиболее вероятный результат, и этим результатом будет являться среднее арифметическое значение (математическое ожидание) ряда измерений величины A.

Указанные выше статистические закономерности большого числа измерений дают основание поставить вопрос о законе, по которому происходит распределение случайных погрешностей в зависимости от величины последних. Этот закон был установлен Гауссом и носит название закона нормального распределения случайных погрешностей. Он справедлив для подавляющего большинства случаев практики.

Аналитически этот закон описывается выражением:

, (1)

где A_i – результат отдельного измерения,

Х - истинное значение измеряемой величины,

Y – так называемая плотность вероятности появления определенной случайной ошибки. По своему смыслу плотность вероятности равна отношению вероятности попадания случайной величины внутрь интервала ∆X к длине этого интервала в предположении, что последняя стремится к 0.

σ – параметр, характеризующий степень случайного разброса результатов отдельных измерений около истинного значения Х. В теории ошибок величину σ называют средней квадратической погрешностью измерения или ряда измерений и определяют соотношением:

.

где n – число измерений.

В теории вероятностей величину σ² называют дисперсией случайной величины.

Определение средней квадратической погрешности по этой формуле невозможно, так как, во-первых, неизвестно истинное значение Х измеряемой величины, а во-вторых, предполагается, что число измерений n . Поэтому на практике вычисляют σ по приближенной формуле, которая будет приведена ниже и отличается тем, что вместо истинного значения Х измеряемой величины берется среднее арифметическое из ряда измерений, причем число измерений n 10.

Е сли зависимость (1) изобразить графически, откладывая по оси абсцисс величины случайных погрешностей ∆X_i , а по оси ординат плотность вероятности Y, то получится симметричная относительно оси ординат колоколообразная кривая, асимптотически приближающаяся к оси абсцисс. Максимум этой кривой находится при ∆X_i = 0, а величина этого максимума Y_макс = .

Рис.1. Нормальный закон распределения

случайных погрешностей.

К

∆x

-∆x

ривые симметричны относительно оси ординат, так как мы выше говорили, что положительные и отрицательные погрешности встречаются одинаково часто. Кроме того из графика видно, что малые погрешности встречаются чаще, чем большие. При разных значениях σ кривые имеют разную высоту. Чем выше и уже кривая, тем чаще встречаются малые случайные погрешности и реже большие. С уменьшением σ кривая становится уже и выше. Таким образом, величина средней квадратической погрешности хорошо характеризует погрешность измерений.

Рассмотрим методику обработки результатов измерений, обусловленных только случайными погрешностями.

Пусть получено n значений измеряемой величины: а₁, а₂,..а_n. В теории ошибок показывается, что при нормальном законе распределения случайных погрешностей наиболее вероятным значением измеряемой величины является среднее арифметическое (математическое ожидание) из n отдельных измерений: а_ср = . Установлено, что для надежной оценки результатов измерений n должно быть равно 10. Далее определяют остаточные погрешности равные разности каждого отдельного измерения и среднего арифметического из ряда измерений ₁ = а₁ – а_ср, ₂ = а₂ – а_ср,… _n = а_n – а_ср. Сумма остаточных погрешностей всегда равна нулю.

Точность измерений характеризуется так называемой средней квадратической погрешностью  или чаще всего вероятной погрешностью : ; . Средняя квадратическая погрешность характеризует степень случайного разброса результатов отдельных измерений относительно истинного значения. Величины  и  характеризуют точность метода, а не точность результата измерения. При увеличении числа измерений n > 10, численные значения  и  существенно не изменяются, а лишь уточняются. Для характеристики точности результата измерений служат средняя квадратическая погрешность результата S= и вероятная погрешность результата .

Из последних выражений следует, что для уменьшения значений S и Е следует увеличивать число измерений n. Однако этот прием не выгоден с практической точки зрения, так как резко увеличивает трудоемкость измерений. Для повышения точности измерений более целесообразно применить более точный метод, чтобы уменьшить тем самым значения  и .

Максимально возможные погрешности ряда измерений и его результата характеризуется соответственно величинами 3 и 3S. Смысл этих величин заключается в том, что не одно из значений ряда измерений не отличается от истинного значения больше чем на 3 (3 измерения из 1000), вероятность выхода за эти пределы ничтожно мала.

Измерения бывают прямыми и косвенными. При прямых измерениях прибором непосредственно определяется искомая величина. При косвенных измерениях интересующая нас величина определяется расчетным путем по результатам измерений других величин, связанных с искомой определенной функциональной зависимостью. Например, по измеренным значениям тока и напряжения можно определить мощность потребляемую нагрузкой, а при измерении дисперсии оптических стекол необходимо измерить показатель преломления для различных длин волн, а затем вычислить дисперсию как разность показателей преломления.

Пусть интересующая нас величина М функционально связана с непосредственно измеряемыми величинами x, y, ….z M = f(x,y,…z). Полный дифференциал этой функции имеет вид , а выражение для средней квадратической погрешности величины М будет иметь вид:

, (2)

где , , - среднеквадратические ошибки прямых измерений величин x, y, ….z.

Рассмотрим частные, но наиболее важные в практическом отношении случаи: 1.Пусть М = x+y+z. Тогда выражение для средней квадратической погрешности интересующей нас величины М будет иметь вид .

Эта формула справедлива для любого числа слагаемых. 2. Пусть М = xyz. Логарифмируя функцию М, а затем дифференцируя полученное выражение,

найдем: lnM =ln x+ln y+ln z; , тогда .

Формула справедлива для любого числа сомножителей, определяющих величину М.