Конспект лекций по теории вероятностей

и математической статистике

для специальности “Управление информационными

ресурсами”

(Курс – 40 л, 34 практических, 8 лабораторных работ (ПЭВМ))

Список литературы

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М. Высш. школа, 2002.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М. Высш. Шк. 2002-09-03

3. Мацкевич И.П., Свирид Г.П. Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика. Минск. Выш. Школа, 1993.

4. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М. Инфра-М. 2000.

5. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. В. И. Ермакова. М. Инфра-М, 2001 г.

6. В.И. Малыхин Математика в экономике. Уч. Пособие. М. Инфра-М, 2002.

7. Гринберг А.С., Плющ О.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. Курс лекций. (Система открытого образования)

8. Кротов В.Г. Математика для менеджера, ч.VI. Лекции по теории вероятностей и математической статистике

Лекция 1. Предмет теории вероятностей и математической статистики и их роль в экономике и менеджменте 3

Лекция 2. Аксиоматика теории вероятности 7

Понятие случайного эксперимента. 7

Пространство элементарных событий. 7

Совместные и несовместные события. 7

Операции над событиями (сумма, разность, произведение). 8

Свойства операций над событиями. 9

Алгебра и сигма-алгебра событий. 11

Лекция 3. Методы определения вероятностей событий 12

Классическое определение вероятности события. Случаи равновероятных исходов. 12

Статистическое определение вероятности события. Случаи неравновероятных исходов. 13

Геометрические вероятности. 13

Аксиоматическое построение теории вероятностей. 14

Вероятностное пространство 15

Лекция 4. Основные теоремы теории вероятностей. Формула полной вероятности и формула Байеса 16

Полная группа событий. 16

Условная вероятность. 16

Формула умножения вероятностей. 16

Формула сложения вероятностей. 16

Независимость событий. 17

Формула полной вероятности. 18

Формула Байеса 18

Основные понятия комбинаторики. 18

Правила суммы и произведения. 19

Лекция 5. Схема независимых испытаний Бернулли 20

Случай непостоянной вероятности появления события в опытах 20

Наивероятнейшее число наступления событий в схеме Бернулли. 21

Предельные теоремы для схемы Бернулли. 21

Теорема Пуассона. 21

Понятие потока событий. 22

Локальная теорема Муавра –Лапласа. 22

Интегральная (глобальная) теорема Муавра – Лапласа. 23

Лекция 6. Виды случайных величин и расчет вероятностей 24

событий с использованием функций и плотностей распределения 24

Закон распределения дискретной случайной величины. 24

Функция распределения случайной величины и ее свойства. 25

Свойства функции распределения 26

Плотность распределения вероятностей. 26

Лекция 7. Основные параметры распределений 28

одномерных случайных величин. 28

Математическое ожидание случайной величины 28

Свойства математического ожидания: 28

Дисперсия случайной величины и ее свойства. 29

Среднее квадратическое отклонение. 30

Лекция 8. Основные законы распределений случайных величин 32

Биномиальное распределение, его математическое ожидание и дисперсия. 32

Распределение Пуассона. 33

Геометрическое распределение 33

Гипергеометрическое распределение (урновая схема) 34

Равномерное распределение. 35

Показательное распределение. 36

Лекция 9. Нормальное распределение и его свойства 38

Свойства функции Гаусса. 40

Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал. 40

Функция Лапласа и ее свойства. 41

Отклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания. Правило «трех сигм». 41

Лекция 10. Многомерные случайные величины 43

Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины 43

Совместная функция распределения двух случайных величин 43

Свойства совместной функции распределения двух случайных величин 44

Плотность совместного распределения вероятностей 44

непрерывной двумерной случайной величины 44

Свойства двумерной плотности вероятности 45

Независимые случайные величины 45

Числовые характеристики системы двух случайных величин 45

Корреляционный момент 45

Коэффициент корреляции 46

Свойства коэффициента корреляции 46

Лекция 11. Предельные теоремы теории вероятностей. 48

Неравенство Чебышева 48

Теорема Чебышева. 48

Центральная предельная теорема. 50

Лекция 12. Выборочный метод анализа свойств генеральной совокупности. 52

Выборочный метод и его основные понятия. Случайная выборка и ее объем 52

Способы отбора 53

Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин. 54

Полигон и гистограмма 55

Лекция 13. Понятие о статистических оценках случайных величин 57

Эмпирическая функция распределения 57

Важнейшие свойства статистических оценок 57

Надежность и доверительный интервал. 59

Лекция 14. Доверительные интервалы для математического 61

ожидания и дисперсии 61

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии. 61

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии 61

. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения  нормального распределения 63

Лекция 15. Проверка статистических гипотез. 64

Статистический критерий 65

Критическая область. Область принятия гипотезы. 66

Критические точки. 66

Критерий согласия Пирсона о виде распределения. 67

Лекция 16. (УИР) Понятие о регрессионном анализе 70

Понятие о регрессионном анализе 70

Выборочные уравнения регрессии. 71

Линейная регрессия 71

Множественная линейная регрессия 73

Нелинейная регрессия 73

Лекция 17 (УИР). Понятие о корреляционном анализе. 75

А. Парная корреляция 77

Б. Множественная корреляция 79

Лекция 18 (УИР). Цепи Маркова с дискретным временем 81

Однородные цепи Маркова 81

Переходные вероятности. Матрица перехода. 82

Равенство Маркова 82

Лекция 19 (УИР). Цепи Маркова с непрерывным временем. 85

Уравнения Колмогорова 86

Финальные вероятности состояний системы 86

Схема гибели и размножения 88

Лекция 20 (УИР). Системы массового обслуживания. 90

Расчет характеристик систем массового обслуживания 91

Одноканальные модели 91

А. Одноканальная модель с отказами 91

Б. Одноканальная модель с ожиданием 93

Многоканальные модели 95

Лекция 1. Предмет теории вероятностей и математической статистики и их роль в экономике и менеджменте

Теория вероятностей – специальный раздел курса высшей математики,

занимающийся изучением математических закономерностей массовых однородных случайных явлений. Следует особо подчеркнуть, что методы теории вероятностей по самой своей природе не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений.

Методы теории вероятностей широко используются в экономике, в теории надежности, теории информации, теории массового обслуживания, в теории принятия решений, в физике, астрономии и др. дисциплинах. Теория вероятностей лежит в основе математической статистики, которая, в свою очередь, используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, контроле качества продукции и т.д. Математическая статистика – наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для осуществления научно обоснованных прогнозов и практических рекомендаций.

Можно сказать, что предметом курса ТВ и МС является анализ случайных явлений как объективного феномена (пример – студенты случайно оказались в АУ).

В экономике, технике и других областях человеческой деятельности очень часто приходится иметь дело с событиями, которые невозможно точно предсказать.

В связи с этим при изучении, например, экономических явлений обычно используют их упрощенные формальные описания (экономические модели). Примерами экономических моделей являются модели потребительского выбора, модели фирмы, модели экономического роста, модели равновесия на товарных и финансовых рынках и многие другие. При построении модели выявляются существенные факторы, определяющие исследуемое явление и отбрасываются детали, несущественные для решения поставленной проблемы. По своему определению любая экономическая модель абстрактна и, следовательно, не полна, поскольку, выделяя наиболее существенные факторы, она абстрагируется от менее существенных, которые в совокупности могут определять не только отклонения в поведении объекта, но и само его поведение. Так, в простейшей модели спроса считается, что величина спроса на какой-либо товар определяется его ценой и доходом потребителя. На самом же деле на величину спроса оказывает также влияние ряд других факторов: вкусы и ожидания потребителей, цены на другие товары, воздействие рекламы, моды и так далее.

Поэтому любое экономическое исследование всегда предполагает объединение теории (экономической модели) и практики (статистических данных). Основным элементом экономического исследования является исследование взаимосвязей экономических переменных. Изучение таких взаимосвязей осложнено тем, что они – особенно в макроэкономике – не являются строгими, функциональными зависимостями. Кроме этого:

1. всегда очень трудно выявить все основные факторы, влияющие на результативный признак (исследуемый показатель);

2. часто воздействия являются случайными, то есть содержат случайную составляющую;

3. экономисты, как правило, располагают ограниченным набором данных статистических наблюдений, которые к тому же содержат различного рода ошибки.

Использование методов теории вероятностей и математической статистики часто позволяет упростить построение математической модели экономической системы, выявить существенные для ее описания факторы и оценить достоверность получаемых на основе модели прогнозных значений интересующего нас показателя.

Можно выделить два типа моделей описания объектов окружающего мира (в частности, экономических). Детерминированные модели предполагают жесткие функциональные связи между переменными модели (Пример – при равноускоренном движении тела из состояния покоя пройденный путь пропорционален квадрату времени движения, или спрос обратно пропорционален цене товара). Стохастические допускают наличие случайных воздействий на исследуемые показатели и используют для их описания методы теории вероятностей и математической статистики.

Вообще говоря, все наблюдаемые события (явления) окружающего нас мира можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий. Пример – лед плавится при температуре выше нуля. (Приведите примеры еще)

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет при выполнении определенной совокупности условий. Пример – лед не может существовать при 100 градусах Цельсия, Земля не может без влияния извне прекратить свое вращение.

Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий может произойти, либо не произойти. Пример – выпадение определенного числа очков при бросании игральной кости, попадание снаряда в цель, выход из строя технического устройства, получение определенной прибыли фирмой и т.п.

Объектами изучения теории вероятностей и математической статистики являются именно случайные события, величины и функции, которые характеризуют рассматриваемое случайное явление. Случайное событие характеризуется определенной вероятностью его наступления. Под вероятностью понимается числовая мера степени возможности появления данного события при определенных условиях.

Каждое случайное событие есть следствие очень многих причин, учесть влияние которых на результат очень сложно (а часто и невозможно). Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие, или нет, а лишь выявляет определенные закономерности появления какого-либо результата в большом числе испытаний.

Иногда трудно провести грань между невозможным и чрезвычайно маловероятным событием, например, 1. может ли человек прожить до 1000 лет? (Вероятность 1 деленная на 10^10^35) . Вероятность того, что при вытаскивании 25 букв (с возвращением) разрезной азбуки получится фраза “Мой дядя самых честных правил” (вероятность (1/32)²⁵ = 2,35*10^-38. Подобные события называются практически невозможными. Считать или нет событие практически невозможным, зависит от того, к насколько важным последствиям оно может привести. Например, вероятностью потери определенной суммы денег при определенной финансовой операции, равной 0,01, можно пренебречь (считать, что разорение является практически невозможным), а той же вероятностью нераскрытия парашюта при прыжке – нельзя.

Принципиально важным структурным компонентом курса ТВ и МС является набор типовых схем взаимодействия случайных событий. Они позволяют получить соотношения для вероятностей прикладных ситуаций (схема Бернулли, схема Байеса).

Определение вероятностей конкретных событий является отдельной проблемой ТВ. За исключением особо простых случаев, когда вероятность может быть определена исходя из соображений симметрии или здравого смысла, как правило, используется частотный подход, позволяющий подсчитывая частоту наступления случайного события, судить о его вероятности. При этом предельные теоремы ТВ устанавливают возможные границы ошибки.

Еще одним важным структурным компонентом ТВ являются случайные величины. Случайные величины характеризуются законами распределения, которые связывают значение случайной величины с ее вероятностью. Это позволяет установить закономерности изменения случайных величин в различных типовых ситуациях. Такие закономерности отображают функция распределения вероятности случайной величины и плотность вероятности случайной величины. Примером такой закономерности является так называемый нормальный закон распределения случайных величин (закон Гаусса).

В прикладном аспекте основные закономерности ТВ используются в математической статистике. Одним из основных в МС является понятие генеральной совокупности – полной численной характеристики исследуемых объектов, а также понятие выборки – частичной, достаточной для практики, совокупности данных (пример 1 – проверить знание студента – спросить все 80 вопросов (генеральная совокупность) или ограничиться 3-5 (выборка); другой пример – необходимо оценить процент бракованных спичек в продукции спичечной фабрики).

Математическая статистика оперирует также с оценками законов распределения случайных величин, выявляя такие характеристики, как математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия (разброс), а также занимается решением прикладных задач, которые позволяют, в частности, оценить вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал значений.

Математическая статистика, используя специальный математический аппарат регрессионного и корреляционного анализа, помогает установить форму зависимости результативного признака от параметров и оценить степень их важности и взаимосвязи. Крайними (предельными) случаями в этом плане являются некоррелированные (несвязанные) и функционально связанные величины.

Возникновение теории вероятности, как науки, было обусловлено потребностью практики. Формирование интереса к задачам, связанным с вероятностями, происходило не только в связи с азартными играми в кости и карты (Паскаль, Ферма). Задачи на вычисление вероятностей ставили начавшее развиваться страховое дело, службы по изучению статистики народонаселения, которые нуждались в теоретически обоснованных методах обработки наблюдений. Таким образом, в начале семнадцатого века, под влиянием возникающих новых экономических отношений и новых научных проблем начала формироваться наука, изучающая:

• особого рода законы, которым подчиняются случайные величины;

• свойства случайных массовых событий, способных многократно повторяться при воспроизведении определенного комплекса условий и т.д.

Традиционные методы теории вероятностей и математической статистики – теория оценивания и проверки гипотез, лежат в основе эконометрики, которая устанавливает и исследует количественные закономерности и взаимозависимости в экономике. Эконометрика позволяет строить экономические модели и оценивать их параметры, проверять гипотезы о свойствах экономических показателей и формах их взаимосвязи, что служит основой для экономического анализа и прогнозирования и создает возможность принятия обоснованных экономических решений.

Следует отметить, что используемые в менеджменте методы теории принятия решений, также базируются на ТВ и МС. В управлении приходится иметь дело с явлениями, на которые оказывает влияние множество факторов, не поддающихся строгому учету и контролю. Влияние этих факторов вызывает некоторый неконтролируемый разброс (случайное рассеяние) количественных признаков, будь то качество продукции, производительность технологической линии, объем валовой продукции предприятия, продолжительность какой-либо технологической операции или заработок отдельных рабочих.

Объективное суждение менеджера о закономерностях такого рода стохастических или вероятностных процессов, выбор и обоснование решения возможны лишь на основе вероятностно – статистического анализа исследуемого явления.

Приведем лишь два примера использования ТВ и МС в менеджменте.

1. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг. В портфель могут входить акции, облигации, депозитные сертификаты, недвижимость и т.п. Главная цель в формировании портфеля состоит в достижении оптимального сочетания между риском и доходом инвестора, т.е. в снижении до минимума риска потерь и максимизации дохода (Гарри Марковиц – Нобелевская премия по экономике). Решение данной задачи может быть получено только при использовании аппарата ТВ – стандартного отклонения ставок дохода по портфелю (ассоциируется с риском портфеля) и матрицы ковариации

2. Принятие решений в условиях неопределенности. Решение может приниматься на основе максимизации наиболее вероятных доходов. Например, пусть фирма поставляет на рынок и продает некоторый скоропортящийся продукт. Фирма может продать от 1 до 5 единиц товара.

Количество единиц товара, закупаемого в день	1	2	3	4	5
Частота	5	10	15	15	5
Относительная частота (вероятность)	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1
Максимальный доход (прибыль)	0,6	1,2	1,8	2,4	3,0

На основании анализа вероятностей и величины дохода менеджер может принять решение о поставке на рынок 4 единиц товара.