- •Лекция 1. Предмет теории вероятностей и математической статистики и их роль в экономике и менеджменте
- •Лекция 2. Аксиоматика теории вероятности Понятие случайного эксперимента.
- •Пространство элементарных событий.
- •Совместные и несовместные события.
- •Операции над событиями (сумма, разность, произведение).
- •Свойства операций над событиями.
- •Алгебра и сигма-алгебра событий.
- •Лекция 3. Методы определения вероятностей событий
- •Классическое определение вероятности события. Случаи равновероятных исходов.
- •Статистическое определение вероятности события. Случаи неравновероятных исходов.
- •Геометрические вероятности.
- •Аксиоматическое построение теории вероятностей.
- •Вероятностное пространство
- •Лекция 4. Основные теоремы теории вероятностей. Формула полной вероятности и формула Байеса Полная группа событий.
- •Условная вероятность.
- •Формула умножения вероятностей.
- •Формула сложения вероятностей.
- •Независимость событий.
- •Формула полной вероятности.
- •Формула Байеса
- •Основные понятия комбинаторики.
- •Правила суммы и произведения.
- •Лекция 5. Схема независимых испытаний Бернулли
- •Случай непостоянной вероятности появления события в опытах
- •Наивероятнейшее число наступления событий в схеме Бернулли.
- •Предельные теоремы для схемы Бернулли.
- •Теорема Пуассона.
- •Понятие потока событий.
- •Локальная теорема Муавра –Лапласа.
- •Интегральная (глобальная) теорема Муавра – Лапласа.
- •Лекция 6. Виды случайных величин и расчет вероятностей событий с использованием функций и плотностей распределения
- •Закон распределения дискретной случайной величины.
- •Функция распределения случайной величины и ее свойства.
- •Свойства функции распределения
- •Плотность распределения вероятностей.
- •Лекция 7. Основные параметры распределений одномерных случайных величин.
- •Математическое ожидание случайной величины
- •Свойства математического ожидания:
- •Дисперсия случайной величины и ее свойства.
- •Среднее квадратическое отклонение.
- •Лекция 8. Основные законы распределений случайных величин
- •Биномиальное распределение, его математическое ожидание и дисперсия.
- •Распределение Пуассона.
- •Геометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение (урновая схема)
- •Равномерное распределение.
- •Показательное распределение.
- •Лекция 9. Нормальное распределение и его свойства
- •Свойства функции Гаусса.
- •Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал.
- •Функция Лапласа и ее свойства.
- •О тклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания. Правило «трех сигм».
- •Лекция 10. Многомерные случайные величины
- •Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины
- •Совместная функция распределения двух случайных величин
- •Свойства совместной функции распределения двух случайных величин
- •Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины
- •Свойства двумерной плотности вероятности
- •Независимые случайные величины
- •Для независимых случайных величин справедливы соотношения
- •Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •Корреляционный момент
- •Коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Лекция 11. Предельные теоремы теории вероятностей.
- •Неравенство Чебышева
- •Теорема Чебышева.
- •Центральная предельная теорема.
- •Лекция 12. Выборочный метод анализа свойств генеральной совокупности.
- •Выборочный метод и его основные понятия. Случайная выборка и ее объем
- •Способы отбора
- •Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин.
- •Полигон и гистограмма
- •Лекция 13. Понятие о статистических оценках случайных величин Эмпирическая функция распределения
- •Важнейшие свойства статистических оценок
- •Надежность и доверительный интервал.
- •Лекция 14. Доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.
- •Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии
- •. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения
- •Лекция 15. Проверка статистических гипотез.
- •Статистический критерий
- •Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки.
- •Критерий согласия Пирсона о виде распределения.
- •Лекция 16. (уир) Понятие о регрессионном анализе
- •Понятие о регрессионном анализе
- •Выборочные уравнения регрессии.
- •Линейная регрессия
- •Множественная линейная регрессия
- •Нелинейная регрессия
- •Логарифмическая модель.
- •Обратная модель.
- •Степенная модель.
- •Показательная модель.
- •Лекция 17 (уир). Понятие о корреляционном анализе.
- •А. Парная корреляция
- •Б. Множественная корреляция
- •Лекция 18 (уир). Цепи Маркова с дискретным временем
- •Однородные цепи Маркова
- •Переходные вероятности. Матрица перехода.
- •Равенство Маркова
- •Лекция 19 (уир). Цепи Маркова с непрерывным временем.
- •Уравнения Колмогорова
- •Финальные вероятности состояний системы
- •Лекция 20 (уир). Системы массового обслуживания.
- •Расчет характеристик систем массового обслуживания Одноканальные модели а. Одноканальная модель с отказами
- •Б. Одноканальная модель с ожиданием
- •Многоканальные модели
Плотность распределения вероятностей.
Для непрерывных случайных величин, кроме функции распределения вводится также понятие плотности распределения вероятностей, или плотности вероятности.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называется производная от ее функции распределения
.
Зная плотность распределения вероятностей, можно найти функцию распределения, интегрируя плотность вероятности в общем случае от до рассматриваемого значения , т.е.
.
Свойства плотности распределения вероятностей
Действительно, так как функция распределения неубывающая функция, то ее производная – функция неотрицательная
Несобственный интеграл от плотности распределения вероятностей в пределах от до равен единице:
Действительно, данный несобственный интеграл выражает вероятность события, состоящего в том, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу . Т.к. такое событие достоверно, то его вероятность равна единице.
Вероятностный смысл плотности распределения вероятностей: вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (x, x+dx) приближенно равна произведению плотности вероятности в точке x на ширину интервала dx.
Пример. Пусть дальность полета снаряда при определенной установке прицела описывается плотностью распределения вида
Какова вероятность того, что при одном выстреле будет получен перелет в пределах от 10 д0 20 метров? Ответ:
Лекция 7. Основные параметры распределений одномерных случайных величин.
Во многих практических случаях информация о случайной величине, которую дают закон распределения, функция распределения или плотность вероятностей, является избыточной. Часто проще и удобнее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно. К числу наиболее важных из таких числовых характеристик случайных величин относятся математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
Математическое ожидание случайной величины
Математическое ожидание характеризует среднее ожидаемое значение случайной величины, т.е. приближенно равно ее среднему значению (вероятностный смысл математического ожидания). Иногда знания этой характеристики достаточно для решения задачи. Например, при оценке покупательной способности населения вполне может хватить знания среднего дохода, при анализе выгодности двух видов деятельности можно ограничиться сравнением их средних прибыльностей. Знание того, что выпускники данного университета зарабатывают в среднем больше выпускников другого, может послужить основанием для принятия решения о поступлении в данный ВУЗ и т.п.
Математическое ожидание дискретной случайной величины определяется соотношением:
, где .
Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно
где - плотность вероятности.
Свойства математического ожидания
Прежде чем формулировать свойства математического ожидания необходимо пояснить смысл арифметических операций , , и т.п., где и – дискретные случайные величины.
Например, под суммой понимается случайная величина , значениями которой являются все допустимые суммы , где и – все возможные значения соответственно случайных величин и .