10. Ортографическая проекция
При их построении используется аппарат аффинной геометрии. Аффинные преобразования представляют собой замкнутую систему линейных преобразований, результат которых также является аффинным.
С формальной точки зрения аффинные преобразования определяются матрицей преобразований Т, в которой четвертый столбец имеет вид: 0001
Среди аксонометрических проекций различают прямоугольную, диметрическую, изометрическую и триметрическую проекции.
Общий вид матрицы преобразований для получения прямоугольной (ортографической) проекции следующий:
При этом два из трёх диагональных элементов (а, е, i) равны единице, а третий должен быть нулевым. Например, ортографическая проекция на плоскость XOY (Z=0) определяется следующей матрицей преобразований:
Ортогональные проекции являются частным случаем прямоугольной проекции, при котором проецирование осуществляется на координатные плоскости. Для выполнения ортогональных построений необходимо сместить плоскость проецирования параллельно одной из координатных плоскостей. Например, матрица преобразований для построения ортогональной проекции на плоскость Z=P будет иметь вид:
Таким образом, ортогональное или прямоугольное проецирование определяется матрицей преобразований с нулевой строкой, соответствующей той оси, перпендикулярно которой находится плоскость проецирования.
Ортогональные и ортографические проекции находят широкое применение в техническом черчении. Совокупность двух или трех ортографических проекций называется эпюром Монжа. При построении эпюра Монжа возможно использование двух систем расположения плоскостей и проекций:
• правая система, принятая в России и в Европе,
• левая система, используемая на американском континенте.
Эпюр Монжа представляется в виде трех проекций:
• Пф - фронтальная проекция;
• Пп - профильная проекция;
• Пг - горизонтальная проекция.
На эпюре Монжа (рис.2.15) изображён геометрический объект,расположенный в 1-м квадранте правой системы. Расположение и направление осей определяется следующим образом:
• в правой системе: ось OX - влево, ось OY - к зрителю, ось OZ - вверх;
• в левой системе: ось OX - вправо, ось OY - вверх, ось OZ - к зрителю.
Конец 10 вопроса.
11. Геометрические построения в диметрической проекции.
Для построения более сложных аксонометрических проекций необходимо использовать комбинацию преобразований поворотов и проекций из бесконечности. Рассмотрим пример проецирования на плоскость Z = 0 (Рис.2.16).
Для построения диметрии необходимо, чтобы масштаб по осям ОX и ОY были равны 1:1 , а по оси OZ - 1:2. Рассмотрим единичные векторы ex, ey и ez, расположенные в исходном трёхмерном пространстве. В системе однородных координат их величины будут выглядеть следующим образом:
Конец 11 вопроса.
12. Геометрические построения в изометрической проекции.
Последний вид аксонометрической проекции - триметрическая проекция - не ограничена каким-либо соотношением по координатным осям, поэтому для её построения в любом случае нужно производить самостоятельные расчёты углов поворота и матриц преобразований Т, аналогично тому, как это было сделано для диметрии и изометрии.
Конец 12 вопроса.