6. Элементарные (базовые) и комбинированные операции на плоскости.
Для осуществления преобразований геометрических объектов на плоскости (или в пространстве) выделяется базовое множество геометрических операций. Из практических соображений это базовое множество должно удовлетворять условию эффективности реализации на аппаратных средствах компьютерной графики. Более сложные геометрические преобразования получаются путем комбинаций (композиций) базовых операций.
В качестве базовых операций будем рассматривать следующие:
1. Перенос геометрического объекта вдоль осей координат.
2. Масштабирование по координатам.
3. Вращение вокруг осей координат.
4. Линейная трансформация.
Рассмотрим подробнее каждую из базовых операций. В качестве преобразуемого объекта выберем простейший геометрический объект - точку с координатами (x, y). После преобразования координаты объекта будут составлять (x', y').
1. Перенос геометрического объекта вдоль осей координат.
Новые координаты рассчитываются по следующим формулам:
где k и l - расстояния, на которые переносится объект вдоль осей OX и OY соответственно. Эти линейные преобразования можно записать в векторной форме:
2. Масштабирование по координатам.
Масштабирование по координатам выполняется при помощи простейшей операции:
или
3. Вращение вокруг начала координат.
Для того чтобы определить формулу, по которой рассчитываются координаты вращаемого объекта, рассмотрим простейший пример(рис.2.3) - вращение точки P1(x, y) в плоскости XOY вокруг начала системы координат О (0,0). В общем случае преобразование на плоскости описывается уравнениями:
Определим значения коэффициентов a, b, c и d при вращении объектов.
В матричной форме эта система будет иметь вид:
4. Линейная трансформация – наиболее общая линейная геометрическая операция. Новые координаты имеют вид:
Для того чтобы решить системы уравнений, соответствующие геометрическим преобразованиям на плоскости, необходимо реализовать (программным или аппаратным путем) две матричные операции - сложения и умножения. Чтобы свести эти две операции к одной был предложен вариант расширенного описания геометрического объекта, включающего дополнительную координату. Это позволило использовать при реализации базовых геометрических преобразований единственную матричную операцию - умножение.
Координаты каждой точки объекта при
этом приобретают вид (xi, yi, 1), а единая
для всех операций матрица преобразований:
С использованием расширенного представления базовые опера-
ции будут описываться следующим образом:
1. Перенос:
Oписанные преобразования обеспечивают взаимно однозначное соответствие между элементами (точками) исходного и преобразованного объектов. На практике это означает, что:
• преобразование отдельного отрезка прямой линии может быть произведено простым преобразованием его граничных точек с последующим их соединением;
• при преобразовании пересекающихся линий точка пересечения исходной пары отрезков преобразуется в точку пересечения преобразованных отрезов с сохранением пропорции деления;
• отрезки, которые были параллельными до выполнения геометрических операций должны оставаться параллельными и после преобразований.
Эти особенности линейных преобразований необходимо учитывать при геометрических построениях, выполняемых в рамках данного раздела курса.
Конец 6 вопроса.