БИЛЕТ 11 21

1. Ошибка аппроксимации

В результате эксперимента получаем последовательность выходов модели, которые аппроксимируем последовательностью выходов объектов. Чем ближе они располагаются, тем более качественная модель. Точность аппроксимации характеризуется (25), (26):

.

22Планы для квадратичных моделей, постановка задачи. Полные факторные планы. Дробные факторные планы. Ортогональный центральный композиционный план второго порядка: структура плана, свойства плана.

Полный квадратичный полином при n =2 содержит 6 членов

, n = 3 - 11 членов

Для получения квадратичной зависимости каждый фактор должен фиксироваться как минимум на трех уровнях

Полные факторные планы

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ).

Для оценки числа опытов необходимо задаться числом уровней варьирования каждого фактора. Выбирается минимальное число уровней варьирования факторов. Общее число различных комбинаций уровней в ПФЭ для факторов можно вычислить как: . где – число уровней i-го фактора.

Если число уровней для всех n факторов одинаково, то ,

где N – количество экспериментальных точек плана (число возможных комбинаций уровней варьирования факторов);

– число уровней варьирования каждого фактора; n – число факторов.

Обычно переходят к нормированному факторному пространству, предлагая минимизировать и максимизировать уровни фактора: .

Переход к нормированным уровням осуществляется по формуле (2); где входы со * – физическое значение входов, а без* – нормированное значение входов.

(2)

На практике стараются минимизировать и максимизировать значение факторов разделенных большим диапазоном, при этом факторы располагаются симметрично относительно среднего значения

Определение. Множество всех точек в n – мерном пространстве, координаты которых являются +1 (+) или -1 (-), называется полным факторным планом или планом полного факторного эксперимента (ПФЭ) типа . Число точек в этом плане .

Дробные факторные планы (дробный факторный эксперимент)

Дробным факторным экспериментом (ДФЭ) называется некоторая часть полного факторного эксперимента, выбранная по определенному правилу.

ПФЭ (если планируется полный факторный эксперимент, то число опытов ).

Например, при n = 5 на проверку адекватности линейной модели остается 26

степеней

При этом из множества точек факторных планов может быть отобрана некоторая часть, представляющая дробный факторный план (ДФЭ)

План, включающий только половину экспериментов ПФЭ, называется полурепликой, включающий четвертую часть опытов – четверть репликой и т. д.

Краткое обозначение указанных дробных реплик – 2^n-1, 2^n–2.

Ортогональный центральный композиционный план второго порядка.

В ОЦКП входят: ядро - план ПФЭ с Nij = 2n точками плана, n0 (одна для этого плана) центральная точка плана и по две “звездные” точки для каждого фактора

, – плечо “звездных” точек.

Общее количество точек в плане ОЦКП составляет , где для ОЦКП n0=1.

При n > 2 в ОЦКП оказывается меньшее количество точек, чем в плане ПФЭ 3n .

n	2	3	4	5	6
ОЦКП	9	15	25	43	77
ПФЭ 3n	9	27	81	243	729

Ортогональность плана:

Симметричность:

Преобразование элементов осуществляется в виде

, где а – величина, зависящая от числа факторов.

Сумма элементов столбца, соответствующего квадратам факторов

Откуда

Условие ортогональности для столбцов и

После преобразований получаем

Принимая во внимание , разделим на N обе части последнего выражения. Получим

Для упрощения этого выражения рассмотрим формулу для определения а: . Заменим в формуле (2) на

, .

Плечо звездных точек . (3)

При n=3

,

.

Билет 12

13. Условие идентифицируемости автономной динамической системы.

Рассмотрим автономную динамическую систему, которая описывается моделью в переменных состояниях

(1)

Определить: При каких условиях можно измерить матрицу динамики , если объект наблю­даем и все его состояния измеримы.

Решение. Перейдем к дискретному времени, так как состояния измеряются в дискретные моменты времени.

– допредельные значения.

Получим: (2)

Дискретная модель представлена разностными уравнениями состояния.

Так как объект автономный, то он совершает движения под воздействием ненулевых начальных условий. Измеряем состояния:

Совокупность измерений состояний записывается в матричном виде:

(3) Правый сомножитель (3) обозначим через B: -

Объект называется идентифицируемым, если матрица B – неособенная матрица (условие идентифицируемости).

(Если это так, то из (3) следует оценка матрицы динамики:

(4)

Условие идентифицируемости позволяет оценивать элементы матрицы динамики А.