
- •2 Билет.
- •3 Билет.
- •Алгоритм Описание
- •Вычитание векторов
- •Умножение вектора на число
- •Свойства линейных операций над векторами
- •Линейные комбинации векторов
- •§ 1. Ориентация пространства. Правые и левые тройки некомпланарных векторов.
- •§ 2. Скалярное произведение векторов.
- •§ 3. Векторное произведение векторов.
- •§4. Смешанное произведение векторов.
- •В координатной форме
- •[Править]Обозначения
- •[Править]Свойства коллинеарности
- •Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов
- •1.Двумя точками (а и в).
- •2. Двумя плоскостями (; ).
- •3. Двумя проекциями.
- •Уравнение прямой по точке и вектору нормали
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
- •Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Нормальное уравнение прямой
- •Угол между прямыми на плоскости
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
- •Расстояние от точки до прямой
- •Расстояние от точки до прямой
- •Угол между прямыми на плоскости
- •Уравнение плоскости
- •Угловой коэффициент в уравнении прямой. Геометрический смысл коэффициента.
- •Расстояние от точки до прямой
- •Взаимное расположение двух плоскостей (формулировки и примеры)
- •Угол между плоскостями
- •Прямая в пространстве
- •Числовые последовательности
- •Арифметические действия над числовыми последовательностями
- •Ограниченные и неограниченные последовательности
- •Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
- •Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями
- •Оновные свойства бесконечно малых последовательностей
- •Определения
- •[Править]Промежутки монотонности
- •[Править]Примеры
- •Способы определения
- •[Править]Свойства
- •Теорема о вложенных отрезках
- •Односторонний предел по Гейне
- •[Править]Односторонний предел по Коши
- •Теоремы о пределах
- •Второй замечательный предел
- •Исчисление бесконечно малых и больших
- •[Править]Бесконечно малая величина
- •[Править]Бесконечно большая величина
- •[Править]Свойства бесконечно малых
- •[Править]Сравнение бесконечно малых
- •[Править]Определения
- •[Править]Примеры сравнения
- •Определение непрерывности функции
- •Арифметические действия над непрерывными функциями
- •Определение
- •[Править]Существование
- •[Править]Примеры
- •[Править]Свойства
- •Понятие производной
- •Геометрический смысл производной
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Дифференцируемость
- •[Править]Замечания
- •Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Следствие
- •Доказательство Лагранжа
- •Отношение бесконечно малых
- •[Править]Отношение бесконечно больших
- •Так почему же это является неопределённостью? Править
Отношение бесконечно малых
Докажем
теорему для случая, когда пределы функций
равны нулю (то есть неопределённость
вида
).
Поскольку
мы рассматриваем функции f и g только
в правой проколотой полуокрестности
точки a,
мы можем непрерывным
образом их
доопределить в этой точке: пусть f(a)
=g(a)
= 0.
Возьмём некоторый x из
рассматриваемой полуокрестности и
применим к отрезку
теорему
Коши.
По этой теореме получим:
,
но f(a)
= g(a)
= 0,
поэтому
.
Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через A, из полученного равенства выводим:
для
конечного предела и
для
бесконечного,
что является определением предела отношения функций.
[Править]Отношение бесконечно больших
Докажем
теорему для неопределённостей вида
.
Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен A. Тогда, при стремлении x к a справа, это отношение можно записать как A + α, где α — O(1). Запишем это условие:
.
Зафиксируем t из
отрезка
и
применим теорему
Коши ко
всем x из
отрезка
:
,
что можно привести к следующему виду:
.
Для x, достаточно близких к a, выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как f(t) и g(t) — константы, а f(x) и g(x) стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен 1 + β, где β — бесконечно малая функция при стремлении x к a справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение ε, что и в определении для α:
.
Получили,
что отношение функций представимо в
виде (1
+ β)(A +
α),
и
.
По любому данному ε можно
найти такое ε1,
чтобы модуль разности отношения функций
и A был
меньше ε,
значит, предел отношения функций
действительно равен A.
Если же предел A бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то
.
В
определении β будем
брать
;
первый множитель правой части будет
больше 1/2 при x,
достаточно близких к a,
а тогда
.
Парадокс
заключается в том, что любая степень
единицы равна самой единице: 1a =
1.
Следовательно, и
.
Таким образом, это не должно быть
неопределённостью.
Так почему же это является неопределённостью? Править
По
правилу Лопиталя
.
Но поскольку
(по
условию), то одним из множителей второго
предела является
,
что уже говорит о том, что вычислить
этот предел невозможно. Таким
образом,
является
неопределённостью, и это доказано.