24. Смешанное произв. В-ов, его геом. Смысл и осн. Св-ва. Выражение смешанного произведения в-ов через координаты сомножителей.

Смешанное произведение векторов.

Пусть даны три произвольных вектора a, b и с. Если вектор а векторно умножается на вектор b, а затем получившийся при этом вектор [ab]скалярно умножается на вектор с, то в результате получается число [ab]c, называемое смешанным произведением векторов a, b и с.

Геометрический смысл.

Теорема. Смешанное произведение [ab]c равно объёму параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и с, взятому со знаком плюс, если тройка abc правая, и со знаком минус, если тройка abc левая. Если же векторы a, b и с компланарны, то [ab]c равно нулю.

Следствие 1: [ab]c = a[bc] не важно какие именно векторы перемнож. верно, а раз это не важно, следов. смеш. произв. можно обозначать abc.

Следствие 2: При циклич. Перестановки в-ов, величина смеш. произв. не меняется (abc = bca = cab = abc). При циклич. Перестановки в-ов, смеш. произв. меняет знак на противоположный (abc = -bac).

Следствие 3: Необх. и дост. условием компланарности трёх в-ов явл. равенство 0 их смеш. произв.

Выражение смешанного произведения векторов через координаты сомножителей.

Теорема. Если три вектора a, b и с определены своими декартовыми прямоугольными координатами

то смешанное произведение abc равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов, т.е.

25. Общее ур-ие прямой на плоскости и его исследование. Ур-ие прямой в отрезках.

Общее уравнение плоскости и его исследование.

A x+By+Cz+D=0 (1) A, B, C, D – любые константы, требуется чтобы хотя бы один из коэффициентов был отличен от 0. Это есть общее уравнение плоскости.

M₀(x₀,y₀,z₀) – коор. удовлетворяют (1). Ax₀+By₀+Cz₀+D=0 (2).

(1)-(2): A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

M(x,y,z)

n={A,B,C}

M₀Mn=A(x-x₀)+C(y-y₀)+c(z-z₀)=0

т.е. M₀Mn=0 <=> M₀M n, а т.к. M(x,y,z) это любая точка плоскости => n П

n={A,B,C}→ нормальный вектор плоскости.

Замечание: Пусть уравнение Ax+By+Cz+D=0 и A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0, это есть уравнение одной и той же плоскости => существует число t:

A₁=tA; B₁=tB; C₁=tC; D₁=tD

Док. n={A,B,C}; n₁={A₁,B₁,C₁} т.к. плоскость одна и та же => n₁║n=> существует t: n₁=tn=> A₁=tA; B₁=tB; C₁=tC. Возьмем любую точку M₀(x₀,y₀,z₀) П

Ax₀+By₀+Cz₀+D=0/*t

A₁x₀+B₁y₀+C₁z₀+D₁=0

(A₁-tA)x₀+(B₁-tB)y₀+(C₁-tC)z₀+(D₁-tD)=0 => равенство выполняется, если D₁-tD=0 =>D₁=tD.

Опред.: Общее ур-ие пл-ти (1) назыв. полным если все его коэффициенты отличны от 0, в противном случае уравнение называется не полным.

Ax+By+Cz+D=0

Все случаи неполных уравнений:

1) D=0 Ax+By+Cz=0→ проходит через начало коор.

2) A=0 By+Cz++D=0→ уравнение плоскости паралл. оси OX

3) B=0 Ax+Cz+D=0→ уравнение плоскости паралл. оси OY

4) C=0 Ax+By+D=0→ уравнение плоскости паралл. оси OZ

5) A=0 и B=0 Cz+D=0→ уравнение плоскости паралл. OXY

6) A=0 и C=0 By+D=0→ паралл. OXZ

7) B=0, C=0 Ax+D=0→ паралл. OYZ

8) A=0, B=0 и D=0 Cz=0→ OXY

9) A=0, C=0, D=0 By=0→ OXZ

10) B=0, C=0, D=0 Ax=0→OYZ.