Уравнение прямой в пространстве, проходящей через 2 заданные точки.

Прямую линию в пространстве можно задавать как линию пересечения двух различных и не параллельных плоскостей: . Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой называется направляющим вектором этой прямой. Найдём уравнение прямой, проходящей через данную точку M₁(x₁,y₁,z₁), и имеющей заданный направляющий вектор q={l,m,n}. Очевидно, точка M(x,y,z) лежит на указанной прямой тогда и только тогда, когда вектор и q={l,m,n} коллинеарны, т.е. тогда и только тогда, когда координаты этих векторов пропорциональны: (1). Это и есть искомое уравнение прямой, называемое каноническим уравнением прямой. Запишем уравнение прямой, проходящей через две данные отличные друг от друга точки M₁(x₁,y₁,z₁) и M₂(x₂,y₂,z₂). За направляющий вектор и, учитывая, что прямая проходит через точку M₁(x₁,y₁,z₁), из канонического уравнения (1) получим уравнение искомой прямой в виде . Примем за параметр t= , т.е. , следовательно, . Это уравнение называется параметрическим уравнением прямой.

уравнение прямой в отрезках на плоскости. Параметрические уравнения прямой

Пусть уравнение Ах+Ву+С=0 – полное.

Ах+Ву= -С/-С

, -С/А=а, -С/В=b, тогда получим - уравнение прямой в отрезках , где a u b-величины отрезков, которые прямая отсекает на осях координат.

параметрическое уравнение прямой.

26. Каноническое ур-ие прямой на плоскости. Ур-ие прямой, проходящей через две заданные точки. Параметрические ур-ия прямой. Ур-ие прямой с угловым коэффициентом.

Любой ненулевой вектор || данной прямой наз-ся направляющим вектором этой прямой.

q={l,m}, М(х,у)L тогда и только тогда, когда || , где |М₁М|={x-x₁,y-y₁} -каноническое уравнение прямой q=M₁M₂={x₂-x₁,y₂-y₁}, x₂-x₁₌l, y₂-y₁₌m

- уравнение прямой на, проходящей через две заданные точки.

Параметрические уравнения прямой

Пусть уравнение Ах+Ву+С=0 – полное. Ах+Ву= -С ⇒ , обозначим -С/А=а, -С/В=b, тогда получим - уравнение прямой в отрезках , где a и b-величины отрезков, которые прямая отсекает на осях координат. ⇒ ⇒ —параметрическое уравнение прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

 = NAM — угол наклона прямой L к оси ОХ. tg=k наз-ся угловым коэффициентом этой прямой.

Теорема: Если прямая непараллельна оси ОУ и имеет направляющий вектор , то

Док-во: =(L, OX),  = ( ) рис.1,3: =  tg = tg l= |q| cos, m=|q| cos (\2-)=sin рис 2,4: ≠, =  – , тогда tg = tg( - ) = – tg l = |q|cos Получим в общем случае: m=|q| cos (3\2-) = – |q|sin

27. Угол между двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.

Пусть имеются прямая L₁:A₁x+B₁y+C₁=0 и L₂:A₂x+B₂y+C₂=0. n₁={A₁,B₁}, n₂={A₂,B₂}.

, cos= L₁||L₂n₁||n₂

L₁L₂n₁n₂A₁A₂+B₁B₂=0

Если прямые заданы своими каноническими уравнениями, то

(L_1,L₂)=(q₁,q₂), , L₁||L₂q₁||q₂ 

L₁L₂q₁q₂l₁l₂+m₁m₂=0

Прямые L₁ и L₂ параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны, т. е. существует такое число , что: А₁=А, В₁=В.

Прямые L₁ и L₂ перпендикулярны, когда скалярное произведение их нормальных векторов равно 0.