20 Линейная зависимость четырех векторов.

Теорема: Любые четыре вектора линейно зависимы.

Док-во: Пусть среди четырех векторов а, b, с и d никакая тройка векторов не компланарна, в противном случае все четыре вектора линейно зависимы.

Приведем все четыре вектора а, b, с и d к общему началу О и проведем через конец D вектора d плоскости, параллельные плоскостям, определяемым парами векторов be, ас и ab (т.к. векторы некомпланарны, значит, они определяют некоторую плоскость).

Точки пересечения указанных плоскостей с прямыми, на которых лежат векторы a, b и с, обозначим соответственно А, В и С.

Из параллелограмма OCDE по правилу параллелограмма сложения векторов вытекает, что d = ОС + ОЕ, а из параллелограмма ОВЕА— что OE=OA+OB. То есть d = OA + OB+ OC

Т.к. вектор ОА коллинеарен ненулевому вектору а, следовательно, найдется вещественное число λ такое, что

0A = λ *а.

Аналогично

OB = μ*b, OC = η*c .

Подставив , получим d = λ *a + μ *b + η*c или λ *a + μ*b+ η*c+(-l)d = 0.

Так как из четырех чисел λ, μ, η, -1 одно заведомо отлично от нуля, то последнее равенство доказывает линейную зависимость векторов а, b, с и d.

Следствие. Каковы бы ни были некомпланарные векторы а, b и с, для любого вектора d найдутся такие вещественные числа λ, μ, η, что

d= λ *а + μ*b+ η*c.

21. Базис и координаты в-ов на пл-ти и в пространстве. Декартовы прямоугольные координаты, основные формулы. Геом. Смысл декартовых прямоугольных координат вектора.

Опред.: 3 ЛНЗ в-ра a, b, c образуют базис в пространстве.

Опред.: 2 ЛНЗ вектора a, b, лежащие в пл-ти , образуют базис в этой пл-ти.

Утв.: Любая тройка некомпланарных векторов образует базис в пространстве.

Утв.: Любая пара неколлинеарных векторов образует базис в плоскости, образованной этими векторами.

Пусть a, b, c - некоторый базис пространства  d = αa+βb+Ϫc – разложение d по базису a, b, c.

, ,  - координаты _d в базисе _a_,_b_,_c. d = {λ,μ,η}

Аффинные координаты (АК) образуются заданием базиса _a_,_b_,_c и началом координат.

Аффинные координаты т.M равны координатам в базисе a, b, c.

Частным случаем аффинной системы координат является декартова прямоугольная система координат (ДПСК).

_a_,_b_,_c  I, j, k , |i| = |j| = |k| = 1, I , j  k, I  k - взаимно ортогональные.

Любой вектор _d может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов_I_,_j_,_k, т.е. этот вектор имеет единственным образом определенные координаты в базисе I, j, k.

, ,   x, y, z

d = xi + yj + zk, d = {x, y, z}, где x, y, z – координаты .

Д.П.Координаты точки M равны координатам в базисе .

Базис в декартовой прямоугольной системе координат. Геометрический смысл декартовых прямоугольных координат вектора.

Любой вектор может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов , т.е. этот вектор имеет единственным образом определенные координаты в базисе .