22. Скалярное произведение в-ов. Опред., осн. Св-ва. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей.
Опред. 1: Скалярным произведением двух в-ов назыв. число, равное произведению длин этих в-ов на косинус угла между ними.
.
.
Опред. 2: Скалярным произведением двух векторов назыв. число, равное произведению длины одного из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов.
Св-ва:
ab = ba (переместительное свойство);
(a)b = (ab) (сочетательное свойство);
(a + b)c = ac + bc (распределительное свойство);
aa > 0, если a – ненулевой вектор, и aa=0, если a – нулевой вектор.
Теорема: Если два вектора a и b определены своими декартовыми прямоугольными координатами
то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, т.е.
23. Векторное произведение. Опред., геом. Смысл, осн. Св-ва. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей.
Векторное произведение.
Опред.: 3 вектора называются упорядоченной тройкой, если указано какой из этих векторов является 1-ым, какой 2-ым и 3-им.
Опред.: Тройка не компланарных векторов называют правой (левой) если она удовлетворяет следующим условиям:
1. Если будучи переведены к общему началу эти векторы располагаются так как могут быть расположены соответственно большой не согнутый указательный и средний палец правой (левой) руки.
Если после приведения вектор с располагается по ту сторону от плоскости образованной векторами a и b откуда кротчайший поворот от 1-го вектора ко 2-му кажется совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).
3. Если, находясь внутри телесного угла, образованного приведёнными к общему началу векторами a, b, c, мы видим поворот от a к b и от него к с совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).
Аффинная или декартовая система координат называется правой (левой) если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку.
Опред. Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор с, обозначаемый символом c=[ab] и удовлетворяющий следующим трём требованиям:
1.
длина вектора с
равна произведению длин векторов a
и b
на синус угла
между ними, т.е.
;
2. вектор с ортогонален к каждому из векторов a и b;
3. вектор с направлен так, что тройка векторов abc является правой.
Осн. св-ва.
1. [ab]= -[ba] (свойство антиперестановочности сомножителей);
2. [(a)b]=[ab] (сочетательное относительно числового множителя свойство);
3. [(a+b)c]=[ac]+[bc] (распределительное относительно суммы векторов свойство);
4. [aa]=0 для любого вектора a.
Выражение векторного произведения через координаты сомножителей.
Теорема.
Если
два вектора a
и b
определены своими декартовыми
прямоугольными координатами
то векторное произведение этих векторов
имеет вид
Для запоминания этой формулы удобно использовать символ определителя и переписать эту формулу в виде
Раскрывая определитель, стоящий в правой части, по элементам первой строки, мы получим разложение вектора [ab] по базису i, j, k, эквивалентное
Следствие. Если два вектора коллинеарны, то координаты их пропорциональны, т.е.
