18. Коллинеарность в-ов. Геом. Смысл линейной зависимости двух в-ов.

Два в-ра назыв. коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Три в-ра в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех в-ов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие в-ры компланарны

Теорема:. Если в-р b коллинеарен ненулевому в-ру а, то существует вещественное число λ такое, что b = λ*а.

Док-во: Приложим в-ры а и b к общему началу О. Тогда эти в-ры располо­жатся на одной прямой, на которой мы выберем начало отсчета, масштабный от­резок и положительное направление.

Возможны два случая:

1)векторы а и b направлены в одну сторону

2)указанные векторы направлены в противоположные стороны.

Обозначим буквами А и В концы в-ов а и b соответственно. Посколь­ку а не нулевой, то точка А отлична от О. Тогда, исключив случай совпадения точки А и точки В (λ = 1), можно утверждать, что точка О делит направленный отрезок ВА в некотором отношении (обозначим его через λ), т.е.

BO/OA=-λ или ОВ = λ*ОА.

В случае, когда в-ры а и b направлены в одну сторону, точка О лежит вне отрезка ВА и поэтому отношение отрицательно, а λ > 1. Если же а и b направлены в противоположные стороны, то точка О лежит внутри отрезка ВА и потому отношение положительно, а λ< 1.

Докажем, что в обоих случаях b = λ*a. Достаточно доказать, что два векто­ра b и λ*а

1)коллинеарны;

2)имеют одинаковую длину;

3)имеют одинаковое направление.

Коллинеарность в-ов b и λ*а вытекает из коллинеарности в-ов а и b и определения произведения в-ра на число. Равенство длин в-ов b и λ *а непосредственно следует из определения произведения в-ра на число и соот­ношения.

Наконец, тот факт, что b и λа имеют одинаковое направление, следует го оп­ределения произведения в-ра на число и из того, что λ > 0, когда а и b одинаково направлены, и λ< 0, когда а и b противоположно направлены.

Теорема: Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух в-ов явл. их коллинеарность. Док-во: Необходимость. Пусть два -ра а и b линейно зависимы. Докажем коллинеарность этих в-ов.

По определению линейной зависимости существуют такие вещественные числа α и β хотя бы одно из которых отлично от нуля, что справедливо равенство

α*a+ β *b =0

Пусть для определенности β ≠ О, тогда из равенства получим

B=- α / β *a

Обозначая lambda=-α/ β, получим b = λ*а. По определению произведения в-ра на число вектора а и b коллинеарны.

Достаточность. Пусть в-ра а и b коллинеарны. Докажем, что эти в-ры линейно зависимы.

Если хотя бы один из в-ов а и b нулевой, то эти векторы линейно за­висимы. Пусть в-ры а и b ненулевые, тогда следует, что су­ществует такое вещественное число λ, что b = λ*а, или λ*а+(-1)b = 0. Т.к. из двух чисел λ, -1 одно заведомо отлично от нуля, то полученное равен­ство доказывает линейную зависимость в-ов а и b.

19. Компланарность. Геом. Смысл линейной зависимости 3-ёх в-ов.

Опред.: В-ры назыв. компланарными, если они лежат либо в одной плоско­сти, либо в параллельных плоскостях.

Теорема: Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех в-ов является их компланарность.

Док-во: Необходимость. Пусть 3 в-ра а, b и с линейно зависимы. До­кажем компланарность этих в-ов.

По определению линейной зависимости существуют такие вещественные числа α, β и Ϫ, хотя бы одно из которых отлично от нуля, что справедливо равенство

α*a+β*b+Ϫ*c = 0.

Пусть для определенности Ϫ ≠ О, тогда из равенства получим

C=-α/Ϫ * a - β/Ϫ*b. Обозначая λ=-α/Ϫ,μ=-β/Ϫ получим C=λ*a+μ*b

Если все 3 вектора приложены к общему началу О, то из равенства следует (по правилу параллелограмма), что в-р с равен диагонали параллелограмма, построенного на двух в-ах: на в-ре а, «растянутом» в λ раз, и на b, «растяну­том» в μ раз. Значит, векторы а, b и с лежат в одной плоскости, т.е. компланарны.

Эти рассуждения не относятся к случаю, когда а и b коллинеарны. В этом случае векторы а, b и с лежат на двух проходящих через точку О прямых, т.е. опять же компланарны.

Достаточность. Пусть векторы а, b и с компланарны. Докажем, что эти в-ры линейно зависимы.

Пусть в тройке в-ов a, b и с ни одна пара в-ов не коллинеарна, в противном случае эта пара линейно зависима, а значит и все три вектора линейно зависимы.

Перенесем три компланарных вектора а, b и с на одну плоскость и приведем их к общему началу О. Проведем через конец С вектора с прямые, параллель­ные векторам а и b. Обозначим буквой А точку пересече­ния прямой, параллельной вектору b, с прямой, на которой лежит вектор а, а буквой В—точку пересечения прямой, параллельной вектору а, с прямой, на которой лежит вектор b (существование этих точек пересечения следует из того, что а и b не коллинеарны). В силу правила парал­лелограмма сложения векторов вектор с равен

C=OA+OB

Так как ОА коллинеарен ненулевому вектору а, то существу­ет вещественное число λ такое, что

OA= λ *a.

Аналогично

OB=mu*b.

Подставляя, получим

с = λ *а + μ*b

или

λ *а + μ *a+(-1)с = 0.

Так как из трех чисел λ, μ, -1 одно заведомо отлично нуля, то последнее равенство доказывает линейную зависимость векторов а, b и с,

Следствие* Каковы бы ни были неколлинеарные векторы а и b для любого вектора С, лежащего в одной плоскости с векторами а и b, найдутся такие вещественные числа λ и μ, что с = λ *а + μ *b.