15. Декартовы прямоугольные системы координат. Полярные системы координат.

Декартовы координаты на плоскости

Две перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Одна из них — ось Ох_, или ось абсцисс, другая — ось Оу, или ось ординат. Эти оси называют координатными осями.

Для задания декартовой прямоугольной системы координат нужно выбрать несколько взаимноперпендикулярных прямых, называемых осями. Точка пересечения осей O называется началом координат.

На каждой оси нужно задать положительное направление и выбрать единицу масштаба. Координаты точки P считаются положительными или отрицательными в зависимости от того, на какую полуось попадает проекция точки P.

Рис. 2: Декартова плоскость

Декартовыми прямоугольными координатами точки P на плоскости называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до двух взаимно перпендикулярных прямых - осей координат или, что то же, проекции радиус-вектора r точки P на две взаимно перпендикулярные координатные оси.

Полярные координаты. Выберем на плоскости некоторую точку О (полюс) и некоторый выходящий из нее луч Ох . Полярными координатами точки М называются два числа ro и fi, первое из которых (полярный радиус) равно расстоянию точки М от полюса О, а второе (полярный угол) — угол, на который нужно повер­нуть против часовой стрелки луч Ох до совмещения с лучом OM.

X=ro*cos(FI) Y=ro*sin(FI)

Полярными координатами точки P называются радиус-вектор ρ - расстояние от точки P до заданной точки O (полюса) и полярный угол φ - угол между прямой OP и заданной прямой, проходящей через полюс (полярной осью). Полярный угол считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки и отрицательным при отсчете в обратную сторону.

Координатные линии в полярных системах - окружности с центром в полюсе и лучи.

Формулы для перехода от полярных координат к декартовым

x=ρ*cos(φ), y=ρ*sin(φ)

и обратно:

ρ=sqrt(x²)+y²), φ=arctg(y/x)=arcsin(y/ρ)

16. Простейшие задачи аналитической геометрии.

Проекция направленного отрезка на ось

Проекцией (пр) направленного отрезка на ОХ назыв. величина направленного отрезка , где началом которого явл. проекция на ОХ, а концом является проекция конца на ОХ. на оси ОХ.

Проекция направленного отрезка на ОХ равна , пр .

Совершим параллельный перенос так, чтобы начало совпадало с какой-нибудь точкой оси ОХ.  — наименьший угол между ОХ и (0 ≤  ≤ П). Если  — острый, то совпадает с ОХ, т.е. cos>0, пр= | |cos = | |cos

17. Понятие вектора. Линейные операции над в-ми и их св-ва.

О пред.: Вектором  называется направленный отрезок с началом в точке A и концом в точке B. Вектор называется нулевым, если его начало и его конец совпадают, т.е. A=B . Вектор  не имеет направления.

Модулем вектора называется его длина. Два вектора называются равными, если их направления совпадают, а длины равны.

Углом между двумя векторами называется наименьший угол, на который нужно повернуть один из векторов до совпадения с направлением второго.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны

Линейными операциями над векторами называют операцию сложения векторов и операцию умножения векторов на вещественные числа.

Сложение векторов.

Суммой векторов а и b называется вектор c = a+b который получается при совмещении конца вектора a с началом вектора b. Тогда началом вектора c будет начало вектора a, а концом вектора c- конец вектора b.

а) Сложение векторов по правилу треугольника: c = a+b

б) Сложение векторов по правилу параллелограмма: c = a+b

Свойства суммы векторов:

1) Свойство коммутативности: a+b=b+a

2) Свойство ассоциативности: (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c

3) a+0 = a

4) a+(-a) = 0, где (-a) - вектор противоположный a.

5) Разностью a-b векторов называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор а.

Утверждение. Существует, и притом единственный, вектор с, представляющий собой разность а– b, причем этот вектор равен с = а +b', где b' — вектор, противоположный b.

6) Распределительное свойство числового сомножителя относительно суммы векторов α(a+b) = αa+ αb.

Умножение вектора на число.

Произведением вектора на число λ называется вектор , такой, что , а его направление совпадает с направлением вектора , если λ>0 и противоположно ему, если λ<0.

1. Распределительное свойство числового сомножителя относительно суммы векторов α( + )=α +α

2. Распределительное свойство векторного сомножителя относительно суммы чисел (α+β) =α +β

3. Сочетательное свойство числовых сомножителейь α(β )=(αβ)