51. Обратное уравнение Колмогорова

Т.1. Пусть существуют непр-ные частные про­изводные 1-го и 2-го порядков при любых значениях И пусть выполнены условия (12.5)-(12.7). Тогда функция удовлетворяет уравнению

которое называется обратным уравнением Колмогорова.

Д-во. Заменив в обобщенном уравнении Маркова

(12.3) t на и используя условие нормировки для ф.р., получим

Тогда

(12.12)

При сделанных нами предположениях по формуле Тейлора имеет место равенство

Тогда, подставляя это выражение в (12.12) и используя (12.5) (12.7), далее будем иметь

(12.13)

Последнее слагаемое стремится к нулю при . Но т.к. ле­вая часть равенства (12. 12) от (12.5) не зависит и пределы (12.6) и (12.7) также от 8 не зависят, выражение (12.13) существует и равно

что и приводит нас к уравнению (12.11).

где (12.5) (12.7)

30. Простейший поток событий.

Простейшим (Пуасоновским) потоком событий называется поток обладающий следующими тремя свойствами

А) Стационарность (вероятность появления k-событий на любом промежутке времени зависит только от числа событий k и от длительности промежутка времени и не зависит от начала и конца отсчета времени).

В) Отсутствие последействия (вероятность появления события на любом промежутке времени не зависит от того появились или не появились события в моменты времени предшествующие началу рассматриваемого промежутка)

С) Ординарность (появление двух или более событий за малый промежуток времени практически не возможно)

Интенсивностью потока называется среднее число событий простейшего потока за время t определяется по формуле Пуассона

Отображает все свойства простейшего потока.

Свойства А, В выполняются т.к. в формуле не используется информация о появлении событий до начала рассматр. промежутка.

45. Марковские системы массового обслуживания.

Пусть -число заявок в системе в момент времени t . Вероятностное распределение - после момента t определяется

А)числом заявок в момент t

б) моментами поступления заявок после момента t и

в) моментами окончания оьслуживания заявок после момента t

Рассмотрим систему с простейшим потоком и экспоненциальным обслуживанием

В силу отсутствия памяти у экспоненциального распределения, моменты поступления заявок после момента t не зависят от предистории системы до момента t. Аналогично моменты окончания обслуживания заявок после момента t так же не зависят от предистории системы до момента t.

П оэтому вероятное поведение процесса после момента t зависит только от и не зависит от поведения до момента t . Поэтому -марковский процесс с конечным или счетным числом состояния

В большинстве рассмотренных моделей -процесс гибели и размножения с графом переходов

Ур-ния для стационарных вероятностей состояний (ур-ния равновесий)

(1)

i=1,2... (2)

Из (2) при i=1 отнять соотн. (1) получим

Если из (2) при i=2 отнять последнее то получим

...

n=0,1,2... (3)

Параметр экспоненциального распределения , времени обслуживания заявок,

- обозначим вероятность поступления k-заявок за время t, -вероятность поступления двух и более заявок за время t.

(4)

(5)

(6)

-вероятность поступления заявок

рассмотрим однолинейную систему масс.обсл.

(за время t будет обслужено k заявок, что в момент t обслуживается некот. заявок)

-обозначим аналогичную вероятность обслуживания k и более заявок

(время обслуживания 1 и более заявок будет меньше либо равно )

(7)

Если бы линия работала непрерывно, то моменты окончания обслуживания заявок образовывали бы простейший поток с параметром , и вероятность которую при данном предположении была бы в силу одинарности равна

За маленький промежуток времени обслуживаются заявок

(8)

(9)

Рассмотрим n-линейную СМО

линии работают независимо друг от друга

(за время будет обслужено k заявок)

(10)

А- входящий поток заявок, N- количество мест для ожидания системы

М-входящий поток заявок простейший, Вторая М-обслуживание является экспоненциальным, 1- однолинейная

- неограниченное число мест, -число заявок системы в момент времени t

Определим вероятности перехода для

из (4),(9),(8) ,

из (5),(7),(6)

из (4),(7) ,

,

-коэфициент загрузки системы

, n=1,2...

где - вероятность того, что в стац. сост. решение наход. n-заявок

;

,

, n=0,1,2... (13)

При рассмотрении послед. систем МО выражение для переход. вероятностей находятся таким же образом соотнош.(4)-(12) поэтому в дальнейшем мы будем изобр. граф перехода для соотв. процесса гибели и размножения.

31.Пуассоновский случайный процесс как однородная цепь Маркова с непрерывным временем.

Покажем, что пуассоновский процесс является цепью Маркова. В силу отсутствия последствия

Поэтому, используя определение условной вероятности, имеем:

Кроме того, получим:

Таким образом, значит, -цепь Маркова.