2 Термодинамічні процеси ідеальних газів

2.1 Приклади розв’язання задач

Задача 2.1.1. Балон з киснем ємністю 30 л перебував у приміщенні з температурою 9 ^оС. Балон перенесли в приміщення з температурою 25^оС. Визначити яку масу кисню потрібно випустити з балона за умови, що допустимий надлишковий тиск в балоні дорівнює 12 МПа, а барометричний тиск складає 735 мм.рт.ст. Визначити зміну внутрішньої енергії, ентальпії, ентропії та ексергії, вважаючи теплоємність сталою.

Розв’язування

Допустимий абсолютний тиск в балоні, бар, кПа

або .

Газова стала кисню, кДж/(кгК)

.

Ізохорна теплоємність кисню, кДж/(кгК)

Початкова маса газу в балоні,

.

Маса газу в балоні за умови допустимого тиску і кінцевої температури,

.

Маса газу, яку треба випустити з балона,

.

Для ізохорного процесу теплота, яка витрачена на нагрівання балона, дорівнює зміні внутрішньої енергії, тобто,

.

Зміна ентальпії,

Зміна ентропії, кДж/(кг∙К)

.

Зміна ексергії в процесі,

.

Задача 2.1.2. В циліндрі двигуна внутрішнього згорання (ДВЗ) до повітря підводиться 0,90 теплоти. Визначити відстань, яку долає поршень діаметром 70 мм в процесі ізобарного розширення, роботу поршня, зміну внутрішньої енергії, ентропії та ексергії, якщо об’єм камери стиску 260 см³, а тиск і температура повітря в камері 1 МПа і 550^оС, відповідно, ^оС.

Розв’язування

Газова стала повітря, кДж/(кг∙К)

.

Маса повітря в камері стиску,

.

Приймаємо орієнтовно з подальшим уточненням кінцеву температуру повітря ^оС.

Середня температура в процесі підведення теплоти, ^оС

.

Середня ізобарна масова теплоємність за формулою з додатка В, кДж/(кгК)

.

Зміна температур в процесі підведення теплоти, ^оС

.

Значення кінцевої температури, ^оС

.

Оскільки , то уточнювати розрахунки не потрібно.

Робота переміщення поршня,

.

Оскільки , то зміна об’єму дорівнює,

.

Площа поршня,

.

Відстань, яку долає поршень,

.

Зміна ентальпії,

.

Зміна внутрішньої енергії,

.

Зміна ентропії, кДж/К

Зміна ексергії,

.

Задача 2.1.3. Визначити яка частка теплоти, що підводиться до триатомного ідеального газу в ізобарному процесі витрачається на виконання роботи, а яка – на зміну внутрішньої енергії.

Розв’язування

Рівняння першого закону термодинаміки може бути подано у вигляді

Частка теплоти, яка витрачається на виконання роботи

(2.1)

Для ізобарного процесу ідеальних газів

(2.2)

Тоді на підставі (2.1) і (2.2) одержимо

Отже, в ізобарному процесі 23% підведеної до триатомного газу теплоти витрачається на виконання роботи, а 77% - на зміну внутрішньої енергії. Легко показати, що для двоатомного газу ; , а для одноатомного ; .

Задача 2.1.4. Повітря з параметрами навколишнього середовища Р₁=755 мм.рт.ст, ^оC і витратою 1080 м³/год стискається до п’ятикратного збільшення густини в процесі, де теплоємність дорівнює нескінченності. Визначити кінцеві параметри повітря, потужність, яка витрачається на стиск, зміну ентропії та ексергії.

Розв’язування

Початковий тиск повітря, бар

або кПа.

Густина зовнішнього повітря, кг/м³

.

Масова витрата повітря, кг/с

.

Оскільки , то , коли або Для ізотермічного процесу або .

Тоді кінцевий тиск повітря,

.

Питома робота стиску, кДж/кг

.

Від’ємний знак вказує на підведену (витрачену) роботу.

Споживана потужність,

Оскільки або , то зміна ентропії дорівнює, кВт/К

,

тобто в процесі стиску ентропія зменшується.

Зміна ексергії,

.

Отже, в процесі ізотермічного стиску ексергія зростає на величину підведеної потужності (роботи).

Задача 2.1.5. Зміна ентропії 1кг азоту в процесі, де зміна внутрішньої енергії дорівнює зміні ентальпії, складає 0,477 кДж/(кгК). Визначити кінцеві параметри азоту, роботу, зміну ексергії, якщо початкова густина складає 1,333кг/м³, а початкова температура дорівнює температурі навколишнього середовища ^оС.

Розв’язування

Для ідеальних газів

Оскільки , то лише за умови тобто в ізотермічному процесі

Газова стала азоту, кДж/(кгК)

.

Початковий тиск газу,

.

Запишемо формулу для зміни ентропії

або

звідки .

Тоді або .

Кінцева густина азоту, кг/м³

.

Кінцевий питомий об’єм, кг/м³

.

Якщо , а , то відбувається ізотермічне розширення газу. Оскільки то кінцевий тиск дорівнюватиме,

.

Питома теплота і робота розширення, кДж/кг

.

Зміна ексергії, кДж/кг

.

Отже, в ізотермічних процесах розширення ексергія зменшується на величину виконаної роботи.

Задача 2.1.6. Повітряний акумулятор являє собою циліндр з рухомим поршнем, діаметр якого 300 мм, а хід – 500 мм. Визначити енергію, яку можна накопичити в акумуляторі в разі стискання повітря, силу яка діє на поршень, зміну внутрішньої енергії, ентальпії та ексергії, за умови, що теплоємність дорівнює нулю, якщо поршень долає відстань 400 мм, а початкові параметри повітря під поршнем складають: Р₁=0,1 МПа; кг/м³

Розв’язування

Площа поршня, м²

Початковий і кінцевий об’єм повітря під поршнем, м³

.

Співвідношення об’ємів

Початкова температура повітря, К

.

Оскільки , то і , за умови Отже, процес стискання повітря – адіабатний. Повітря вважається двоатомним газом, для якого показник степеня адіабати (коефіцієнт Пуассона) k=1,4.

Робота зміни об’єму повітря, кДж

Від’ємний знак вказує на роботу стиску.

Робота, яка витрачається на подолання атмосферного тиску, кДж

.

Корисна енергія, що накопичена в акумуляторі, кДж

.

Кінцевий тиск повітря під поршнем, кПа

.

Сила, яка діє на поршень з боку повітря, кH

.

Кінцева температура повітря, К

або ^оС.

Для адіабатного процесу тому зміна внутрішньої енергії дорівнює, кДж

.

За формулою додатка В визначаємо масові ізобарні теплоємності повітря для початкової та кінцевої температури, кДж/(кг×К)

.

.

Маса повітря під поршнем, кг

.

Зміна ентальпії повітря в процесі стиску, кДж

Оскільки для адіабатного процесу , то зміна ексергії дорівнює, кДж

.

Задача 2.1.7. В газовій турбіні двоокис вуглецю адіабатно розширюється до шестикратного зменшення густини. Визначити масову витрату газу в турбіні, зміну внутрішньої енергії, якщо внутрішня потужність і внутрішній ККД турбіни 25 МВт і 0,85 відповідно, початкові параметри газу: Р₁=0,1МПа; t₁=727^оС; k=1,3 (теплоємності не залежать від температури).

Розв’язування

Газова стала, кДж/(кг×К)

Ізохорна та ізобарна масова теплоємність газу, кДж/(кг×К)

За умови задачі або

Температура газів на виході з турбіни, К

Зміна внутрішньої енергії, кДж/кг

.

В адіабатному процесі робота зміни тиску , тому робота, яку виконує газ, складає, кДж/кг

.

Необхідна потужність турбіни, МВт

.

Масова витрата газу, кг/с

.

Задача 2.1.8. Від двох кіломолей гелію з теплоємністю кДж/(кмоль·К) в політропному процесі відводиться 3000 кДж теплоти, внаслідок чого його температура зменшується на 100^оС. Визначити роботу зміни об’єму і зміни тиску, зміну внутрішньої енергії, ентальпії та ексергії, якщо початкові параметри газу складають: Р₁=0,15МПа; ₁=6,928м³/кг, температура навколишнього середовища 288К.

Розв’язування

Газова стала гелію, кДж/(кгК)

.

Масові ізохорна та ізобарна теплоємності, кДж/(кгК)

Питома теплота, що відведена від газу, кДж/кг

Початкова температура газу, К

Кінцева температура гелію, К

.

Теплоємність політропного процесу, кДж/(кгК)

.

Із рівняння теплоємності

або

визначимо показник політропи .

Кінцевий тиск газу, МПа

.

Маса газу, кг

.

Зміна внутрішньої енергії та ентальпії, кДж

Робота зміни об’єму і тиску, кДж

Зміна ентропії, кДж/К

.

Зміна ексергії, кДж

.

Задача 2.1.9. До 1кг азоту з початковими параметрами Р₁=0,4 МПа і t₁=227^оС підводиться 120кДж теплоти. При цьому його внутрішня енергія зменшується на 44,6кДж. Визначити роботу зміни об’єму і зміни тиску, зміну ентальпії, ентропії та ексергії, вважаючи теплоємності незалежними від температури. Температуру навколишнього середовища прийняти рівною 288К

Розв’язування

Газова стала азоту, кДж/(кгК)

Ізохорна та ізобарна масові теплоємності, кДж/(кгК)

Зміна температур в процесі, ^оС

Кінцева температура газу, К

Теплоємність процесу, кДж/(кгК)

Із рівняння для теплоємності політропного процесу

або

визначимо показник політропи .

Кінцевий тиск газу, бар

Зміна ентальпії, кДж/кг

.

Робота розширення (зміни об’єму), кДж/кг

.

Робота зміни тиску, кДж/кг

.

Отже, на виконання робіт і витрачається зміна внутрішньої енергії та ентальпії, відповідно.

Зміна ентропії процесу, кДж/(кгК)

.

Зміна ексергії, кДж/кг

.

Задача 2.1.10. Два кілограми двоокису вуглецю з тиском

Р₁=740 мм.рт.ст. і об’ємом 1,15 м³ політропно стискаються, внаслідок чого густина збільшується в п’ять разів, а температура втричі. Визначити теплоту, роботу зміни об’єму, зміну внутрішньої енергії, ентальпії, ентропії та ексергії. В розрахунках прийняти, що теплоємності сталі, k=1,3, а температура навколишнього середовища дорівнює початковій температурі газу.

Розв’язування

Газова стала, кДж/(кгК)

.

Ізохорна та ізобарна масові теплоємності газу, кДж/(кгК)

Початковий тиск, бар

Початкова температура газу, К

.

Кінцева температура газу, К

.

Оскільки за умови задачі , то

Кінцевий об’єм газу, м³

Із рівняння політропного процесу

, маємо , звідки ln 3 = (n – 1)ln 5,

(n – 1) = 0,682;.

Теплоємність процесу, кДж/(кгК)

.

Теплота процесу, кДж

.

Зміна внутрішньої енергії, кДж

.

Зміна ентальпії, кДж

.

Робота зміни об’єму, кДж

.

Від’ємний знак характеризує підведену іззовні роботу (роботу стиску).

Робота зміни тиску, кДж

.

Зміна ентропії, кДж/К

Зміна ексергії, кДж

.

Задача 2.1.11. На стиск 1кг повітря з початковою температурою 273К витрачається 205 кДж роботи зміни тиску. При цьому внутрішня енергія газу зростає на 220 кДж. Визначити початкові та кінцеві параметри повітря, зміну ентальпії, ексергії та ентропії, теплоту, якщо кінцевий тиск дорівнює 1,2 МПа. В розрахунках прийняти, що теплоємності лінійно залежать від температури.

Розв’язування

Газова стала повітря (див. задачу 1.1.3) дорівнює R=0,287 кДж/(кгК). Оскільки інтервал зміни температур невідомий, визначаємо за допомогою додатка Б теплоємності для початкової температури:

кДж/(кгК)

кДж/(кгК).

Орієнтована різниця температур в процесі, К

.

Кінцева температура в процесі стискання, ^оС

або К

Ізобарна та ізохорна теплоємності для кінцевої температури, кДж/(кгК)

.

Середні значення теплоємностей в інтервалі температур 0 – 300^оС, кДж/(кгК)

Різниця температур в процесі, К

.

Кінцева температура повітря, К

Кінцевий питомий об’єм повітря, м³/кг

Зміна ентальпії, кДж/кг

Теплота процесу, кДж/(кгК)

q = Δh + lp = 305.8 – 205 = 100,8.

Теплоємність процесу, кДж/( кгК)

.

Показник політропи

.

Початковий питомий об’єм газу з рівняння процесу, м³/кг

.

Початковий тиск із рівняння стану, кПа

.

Зміна ентропії, кДж/(кгК)

.

Зміна ексергії, кДж/кг

.