1. Логічний наслідок формул

Коли говорять, що із одного або декількох висловлень А₁, А₂, …, А_m випливає твердження В, то мається на увазі наступне: кожного разу, коли виявляться істинними висловлення А₁, А₂, …, А_m , істинним буде й твердження В.

Означення 5.1. Формула називається логічним наслідком формул , якщо формула перетворюється в істинне висловлення при будь-якій такій підстановці замість пропозиційних змінних конкретних висловлень, при якій в істинне висловлення перетворюються всі формули .

Те, що формула Н є логічним наслідком формул записується так: ╞ Н. Формули називаються посилками для логічного наслідку Н. Таким чином, ╞ Н, якщо для будь-яких висловлень із , …, випливає .

Якщо скласти таблицю істинності для формул , Н й в кожному рядку таблиці, де всі формули приймають значення рівне 1, формула Н також приймає значення рівне 1, то це й означає, що Н є логічним наслідком формул .

Приклад. З’ясувати, використовуючи таблицю істинності, які із формул є наслідками інших:

№ рядка
1 2 3 4 5 6 7 8	0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	1 1 1 1 1 1 1 0	1 1 0 0 1 1 0 0	1 1 1 1 0 1 0 1	1 1 1 1 1 1 0 0

Розглянемо формули . Із таблиці видно, що є тільки один рядок (6-й), в якому перші три формули приймають значення 1. У цьому рядку формула також приймає значення 1. Отже, ╞ .

Тепер розглянемо формули . Із таблиці видно, що є лише п’ять рядків, в яких перші дві формули приймають значення 1, а саме 1-й, 2-й, 3-й, 4-й і 6-й. У цих рядках третя формула також приймає значення 1. Отже,

╞ .

Можна виявити й ще деякі інші логічні наслідки одних формул із інших

2. Ознаки логічного наслідку.

Теорема 5.1. Формула є логічним наслідком F тоді й тільки тоді, коли фор­мула є тавтологією: F ╞ H  ╞.

Доведення. Необхідність. Нехай ╞, тобто якщо для набору висловлень має місце = 1, то = 1. Тоді для довільного набору висловлень має місце рівність → = 1. Отже, → = 1 для довільних висловлень . Це означає, що формула → — тавтологія, тобто ╞ F → .

Достатність. Нехай ╞ F → . Тоді

→ = 1

для будь-яких висловлень , звідки маємо

→=1.

Покладемо тепер, що =1. Тоді: 1→= 1, а звідси маємо =1, оскільки в іншому випадку 1→ 0 = 1, що неможливо. Отже, за означенням логічного наслідку F ╞ .

Теорема 5.2. Для будь-яких формул , ( m  2 ) наступні твердження рівносильні

а) ╞;

б) ╞;

в) ╞ ()→.