2. Висловлення. Логічні операції над висловленнями.

Предметом дослідження алгебри висловлень є висловлення. Під висловленням розуміють речення, яке або істинне, або хибне. Висловлення не може одночасно бути істинним і хибним.

Далі будемо вважати, що є початкова сукупність найпростіших висловлень, які називаються елементарними, про кожне із яких точно відомо, істинне воно чи хибне. Конкретні висловлення позначатимемо буквами латинського алфавіту A, B, C, D, … або тими ж буквами з індексами внизу.

Позначивши істинне висловлення символом 1, а хибне ― 0, уведемо функцію λ, задану на сукупності всіх висловлень, котра приймає значення на двохелементній множині , за наступним правилом:

Функція λ називається функцією істинності, а значення λ(Р)  логічним значенням або значенням істинності висловлення Р .

Із елементарних висловлень за допомогою логічних зв’язок утворюються складні висловлення.

Розглянемо логічні операції над висловленнями.

Заперечення висловлення. Запереченням висловлення Р називається висловлення ¬Р (читається: ”не Р”), яке істинне, якщо висловлення Р хибне, і хибне, якщо Р істинне.

Кон’юнкція двох висловлень. Кон’юнкцією двох висловлень P і Q називається висловлення, яке позначається або P&Q (читається: ”P і Q”), котре істинне тоді й тільки тоді, коли істинні висловлення P і Q, й хибне в усіх інших випадках.

Диз’юнкція двох висловлень. Диз’юнкцією двох висловлень P і Q називається висловлення, яке позначається (читається “P або Q”), котре істинне в тих випадках, коли принаймні одне із висловлень P або Q істинне, й хибне в єдиному випадку, коли обидва висловлення P і Q хибні.

Імплікація двох висловлень. Імплікацією двох висловлень P і Q називається висловлення (читається: “якщо P, то Q”, або “із P випливає Q”, або “P достатньо для Q”, або ”Q необхідно для Р”), яке хибне в єдиному випадку, коли висловлення P істинне, а Q  хибне, а в усіх інших випадках  істинне.

У висловленні висловлення Р називається посилкою або антецедентом, а висловлення Q  наслідком або консеквентом.

Еквівалентність двох висловлень. Еквівалентністю двох висловлень P і Q називається висловлення (читається: “P еквівалентно Q”, або “P необхідно й достатньо для Q”, або “P тоді й тільки тоді, коли Q”, яке істинне лише в тому випадку, коли одночасно обидва висловлення P і Q або істинні, або хибні.