1. Поняття предиката

Визначеним на множинах М₁, М₂, ..., М_п п-місним предикатом називається речення, яке містить п змінних х₁, х₂, ..., х_п, яке перетворюється в висловлення при підстановці замість цих змінних будь-яких конкретних елементів з множин М₁, М₂, ..., М_п відповідно.

Для п-місного предиката використовуватимемо позначення . Змінні х₁, х₂, ..., х_п називають предметними або іменними, а елементи множин М₁, М₂, ..., М_п, конкретними предметами або іменами. Всякий п-місний предикат , визначений на множинах М₁, М₂, ..., М_п , є функцією п аргументів, яка задана на указаних множинах і приймає значення в множині всіх висловлень. Тому предикат називають також функцією-висловленням.

Приклад. Вираз “” є двохмісним предикатом, заданим на множинах R, R. Оскільки множини, на яких задано предикат, збігаються, то говоритимемо, що предикат задано на множині R². Пара дійсних чисел 2, 2 перетворює даний предикат в істинне висловлення “”, а пара 2, 3  в хибне “”.

2. Класифікація предикатів.

Предикат , заданий на множинах М₁, М₂, ..., М_п , називається:

а) тотожно істинним, якщо при будь-якій підстановці замість змінних х₁, х₂, ..., х_п довільних конкретних предметів а₁, а₂, ..., а_п з множин М₁, М₂, ..., М_п він перетворюється в істинне висловлення ;

б) тотожно хибним, якщо при будь-якій підстановці замість змінних х₁, х₂, ..., х_п довільних конкретних предметів а₁, а₂, ..., а_п з множин М₁, М₂, ..., М_п він перетворюється в хибне висловлення ;

в) виконуваним, якщо існує принаймні один набір конкретних предметів а₁, а₂, ..., а_п із мно­жин М₁, М₂, ..., М_п при підстановці яких замість предметних змінних він перетворюється в істинне висловлення ;.

г) спростовним, якщо існує принаймні один набір конкретних предметів а₁, а₂, ..., а_п із мно­жин М₁, М₂, ..., М_п при підстановці яких замість предметних змінних він перетворюється в істинне хибне висловлення .

Приклади. Предикат “”, визначений на R, тотожно істинний. Предикат “”, заданий на множині R, тотожно хибний. Але цей предикат виконуваний на множині комплексних чисел і в той же час він, на цій множині, є спростовним. Предикат “” є тотожно істинним на будь-якій числовій множині.

3. Множина істинності предиката

Множиною істинності предиката , заданого на множинах М₁, М₂, ..., М_п, називається сукупність всіх упорядкованих n-ок (а₁, а₂, ..., а_п), у яких , , ..., , і таких, що для кожної із n-ок (а₁, а₂, ..., а_п) висловлення є тотожно істинним.

Множину істинності предиката позначатимемо Р⁺. Таким чином .

У термінах множини істинності предиката можна виразити поняття, пов’язані з класифікацією предикатів.

Дійсно, п-місний предикат , заданий на множинах М₁, М₂, ..., М_п буде:

а) тотожно істинним тоді й тільки тоді, коли ;

б) тотожно хибним тоді й тільки тоді, коли Р⁺ = Ø;

в) виконуваним тоді й тільки тоді, коли Р⁺ ≠ Ø;

г) спростовним тоді й тільки тоді, коли .

4. Рівносильність і наслідок предикатів

Два п-місних предиката , заданих на одних і тих же множинах М₁, М₂, ..., М_п, називаються рівносильними, якщо для будь-якого набору предметів , , ..., висловлення істинне в тому й тільки в тому випадку, коли істинним є висловлення .

Іншими словами, предикати і називаються рівносильними, якщо іх множини істинності збігаються: Р⁺= Q⁺.

Якщо предикати P і Q рівносильні, то це символічно записуватимемо так: PQ.

Відношення рівносильності предикатів є відношенням еквівалентності. Отже сукупність всіх п-місних предикатів, визначених на множинах М₁, М₂, ..., М_п розбивається на класи еквівалентності, які не перетинаються. Кожен із цих класів визначає одну й ту ж функцію, визначену на множинах М₁, М₂, ..., М_п , яка приймає значення в двохелементній множині {0, 1}.

Перехід від предикату Р₁ до рівносильного йому предикату Р₂ називається рівносильним перетворенням першого.

Приклад. Нехай потрібно розв’язати рівняння (знайти множину істинності предикату): 4х-2 = -Зх - 9. виконаємо рівносильні перетворення: 4х-2 = -Зх-9 4х+Зх = -9+2 7х= -7 х = -1. Відповідь:  множина усіх розв’язків даного рівняння (множина істинності даного предикату).

Предикат заданий на множинах М₁, М₂, ..., М_п, називаються наслідком предикату, заданого на тих же множинах, якщо із істинності висловлення для будь-якого набору предметів , , ..., випливає істинність .

Цей факт записується так: P  Q .

У термінах множин істинності дане означення формулюється так:

Предикат заданий на множинах М₁, М₂, ..., М_п, називаються наслідком предикату, заданого на тих же множинах, якщо Р⁺ Q⁺.