Лекція 8 План

1. Властивості числення висловлень.

2. Проблема повноти.

3. Несуперечність числення висловлень.

4. Проблема розв’язності.

5. Незалежність системи аксіом числення висловлень.

1. Властивості числення висловлень

В основі формалізованого числення висловлень лежать поняття, котрі відносяться до так званої області синтаксису, тобто поняття, котрі є деякими абстрагованими від змісту символами й формальні дії з ними: алфавіт, формула, аксіома, правило виведення, доведення, теорема. Ці поняття прийнято називати синтаксичними.

У той же час в алгебрі висловлень за кожною пропозиційною змінною стоїть конкретне висловлення, кожна формула може перетворюватися в конкретне складне висловлення, котре може бути істинним або хибним. У цій сфері, яка є областю семантики, кожне поняття наповнене певним змістом. Поняття істини, хиби, тотожно істинної й тотожно хибної формул, рівносильності й логічного наслідку формул є поняттями семантики.

2. Проблема повноти

Проблема повноти полягає у з’ясуванні питання, чи достатньо аксіом і правил виведення даного числення для того, щоб можна було вивести будь-яку формулу, яка в змістовному розумінні є тотожно істинною.

Дещо інше поняття повноти системи аксіом ґрунтується на неможливості доповнення системи аксіом будь-якою формулою, яку не можна вивести з даних аксіом.

Система аксіом називається семантично повною, якщо із неї можна отримати всі тотожно-істинні формули, записані засобами цього числення. Це означає, що в даній системі є достатньо аксіом, щоб вивести довільну формулу, котра є істинною прибудь-якому наборі змінних.

Система аксіом називається синтаксично повною, якщо приєднання до неї невивідної у цій системі формули робить систему суперечливою.

Теорема 8.1. Будь яка теорема ЧВ є тавтологією, тобто ├ F  ╞ F.

Доведення. Тотожна істинність усіх аксіом перевіряється безпосередньою побудовою таблиць істинності для кожної із них. Отже усі аксіоми  тавтології.

Покажемо тепер, що правило виведення МР перетворює тотожно істинні формули в тотожно істинні формули, тобто покажемо, що коли F і FG тотожно істинні, формули то й G тотожно істинна. Припустимо супротивне. Нехай G не є тотожно істинною формулою, тобто існує набір значень її змінних, на якому вона набуває значення 0. Тоді підставимо цей набір у формулу FG .Оскільки F є тавтологією, то дістанемо вираз 10, значення якого є 0. Останнє суперечить припущенню про тотожну істинність формули FG. Отже всі вивідні формули числення висловлень є тотожно істинними формулами тобто тавтологіями.

Має місце й обернена теорема, яку ми наведемо без доведення.

Теорема 8.2. Будь-яка тотожно істинна формула алгебри висловлень є теоремою ЧВ.

Об’єднавши розглянуті теореми одержимо теорему про повноту (теорема тавтології) ЧВ.

Теорема 8.2 (про повноту). Множина теорем числення висловлень збігається з множиною тавтологій алгебри висловлень, тобто ├ F  ╞ F.

З теореми про повноту випливає її узагальнення  теорема адекватності.

Теорема 8.3 ( адекватності). Формула вивідна в ЧВ із скінченної множини гіпотез Г тоді й тільки тоді, коли вона є логічним наслідком усіх формул цієї множини, тобто F₁, F₂, ..., F_m ├ G  F₁, F₂, ..., F_m ╞ G.

Доведення. Нехай F₁, F₂, ..., F_m ├ G . Тоді за наслідком 7.2 теореми про дедукцію маємо: ├ F₁  (F₂  ... (F_m-1 (F_m  G))…).

Звідси за теоремою про повноту одержуємо:

╞ F₁  (F₂  ... (F_m-1 (F_m  G))…).

Остання формула рівносильна формулі (F₁  F₂  ...  F_m )  G . Тоді

із тотожної істинності однієї із формул і їх рівносильності випливає, що і друга формула є тавтологією, тобто ╞ (F₁  F₂  ...  F_m )  G .