22. Линейная модель множественной регрессии

Построение модели множественной регрессии является одним из методов характеристики аналитической формы связи между зависимой (результативной) переменной и несколькими независимыми (факторными) переменными.

Модель множественной регрессии строится в том случае, если коэффициент множественной корреляции показал наличие связи между исследуемыми переменными.

Общий вид линейной модели множественной регрессии: y_i=β₀+β₁x_1i+…+β_mx_mi+ε_i,

где yi – значение i-ой результативной переменной,

i = 1,…,n

x1i…xmi – значения факторных переменных;

β0…βm – неизвестные коэффициенты модели множественной регрессии;

εi – случайные ошибки модели множественной регрессии.

При построении нормальной линейной модели множественной регрессии учитываются пять условий:

1) факторные переменные x1i…xmi – неслучайные или детерминированные величины, которые не зависят от распределения случайной ошибки модели регрессии βi;

2) математическое ожидание случайной ошибки модели регрессии равно нулю во всех наблюдениях:

E(εi) = 0 (i = 1,…,n)

3) дисперсия случайной ошибки модели регрессии постоянна для всех наблюдений:

D(εi) = E(ε²i) = G² = const

4) между значениями случайных ошибок модели регрессии в любых двух наблюдениях отсутствует систематическая взаимосвязь, т.е. случайные ошибки модели регрессии не коррелированны между собой (ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю):

Cov(εi, εj) = E(εi, εj) = (I не равно j)

Это условие выполняется в том случае, если исходные данные не являются временными рядами;

23. Метод Монте-Карло, его применение в эконометрике

Эксперимент по методу Монте-Карло — это эксперимент, основанный на компьютерном моделировании случайных величин. Суть метода Монте-Карло заключается в том, что с помощью компьютера можно многократно наблюдать случайную величину с заранее известным распределением. Это позволяет получить (или проверить) статистические результаты экспериментально. Метод широко применим не только в эконометрическом моделировании, но и вообще в статистическом исследовании. Так, с его помощью можно оценивать вероятности событий, связанных со случайными величинами.

Приведем простейший пример. Пусть X имеет равномерное распределение на отрезке

[—1; 1], Y — нормальное распределение с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией равной единице. Требуется оценить вероятность того, что случайная величина Z=XY^ примет значение на отрезке [0;1].

Регрессионная программа позволит сгенерировать серию выборочных наблюдений величины произвольного, заранее выбранного объема. Вот как, например, выгладит гистограмма распределения Z, полученная с помощью программы «Econometric Views»

В серии из четырехсот наблюдений величина Z приняла значение на интервале [0; 1] 173 раза. Таким образом, экспериментальной оценкой вероятности можно считать 173/400 = 0,4325. В эконометрическом моделировании значение метода Монте- Карло особенно велико. С его помощью можно построить модель с з а р а н е е и з в е с т н ы м и параметрами (отметим еще раз, что в реальных моделях параметры никогда не бывают известны). Метод Монте-Карло позволяет проверить экспериментально результаты, полученные теоретически. В качестве примера рассмотрим задачу выбора спецификации модели. Пусть имеются фиксированные выборки переменных X, Z, а случайные выборки переменной Y генерируются по формуле

Y= 12 + 8X+Z +ε,

где ε — нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием, равным нулю, и стандартным отклонением, равным пяти.

Методом наименьших квадратов оцениваются модели, включающие переменную Zn не включающие ее. Эксперимент повторяется четыре раза. Получаются следующие

регрессионные уравнения:

у = 12,3 + 7,8х + 0,1 Z; у = 12,1 + 7,9JC ;

(0,09) (0,08)

y = ll,6 + 8,lx + l,2z; y = ll,8 + 8,15x;

(0,09) (0,08)

y = 11,4 + 8,08x + l,3z ; y = 11,8 + 8,12x

(0,09) (0,08)

y = 12,8 + 7,93x -h 0,8z; y = 12,1 + 7,99x

(0,09) (0,08)

Как видно, оценка параметра при переменной х в короткой модели оказывается смещенной вверх. В то же время точность оценок близка в обоих случаях. Разумеется, в реальной практике эксперимент должен повторяться не четыре раза, а значительно большее количество раз.

С помощью метода Монте-Карло можно наглядно демонстрировать результаты применения тестов, а также экспериментально оценить последствия нарушения тех или иных условий.

Наконец, отметим особенно значимую роль экспериментов по методу Монте-Карло в процессе обучения. Именно с помощью таких экспериментов можно увидеть различия между методами оценивания моделей, наблюдать эффекты, вызванные нарушением тех или иных условий и т. д