64.Способы корректировки гетероскедастичности. Метод взвешенных наименьших квадратов.
Одним
из основных способов корректировки
гетероскедастичности является
использование метода взвешенных
наименьших квадратов. Он применяется
в том случае, когда известны диагональные
элементы автоковариационной матрицы
вектора возмущений
.
В этом случае уравнения наблюдений
можно преобразовать следующим образом.
Поделим каждый член на СКО возмущения:
,
где t=1….n.
В результате преобразования спецификация
принимает вид спецификации классической
регрессионной модели:
. Определим количественные характеристики
случайного возмущения
:
математическое
ожидание: E{
}=E{
}=
=0
дисперсия
случайного члена: Var
{
}=Var{
}=
=
=1,
таким образом
~N(0,1)
и при помощи данного преобразования
случайное возмущение приобрело свойство
гомоскедастичности.
В
случае, если значения
неизвестны, используется доступный
обобщенный метод наименьших квадратов.
В этом методе выполняется оценка
неизвестных дисперсий, но при условии,
что на структуру автоковариационной
матрицы накладываются дополнительные
ограничения (предпосылки). Наиболее
часто используется следующая предпосылка:
СКО возмущения пропорционально одному
из регрессоров.
65.Статистические свойства оценок параметров парной регрессионной модели.
Теорема
Гаусса-Маркова. Пусть матрица Х имеет
полный ранг. При выполнении условий
Гаусса-Маркова МНК-оценки параметров
относятся к классу линейных по Y,
несмещенных оценок с минимальной
дисперсией. Покажем линейность оценок
следующим выражением:
Докажем несмещенность полученных
оценок. Введем обозначение:
, тогда можно показать, что справедливы
следующие соотношения:
,
,
,
.
Свойство несмещенности оценок параметра
проверяется соответственно:
,
,
E(
)=b
,
E
=a.
Оценка является состоятельной если:
,
т.е с увеличением объема выборки оценки
более плотно концентрируются около
истинного значения. Оценка становится
более надежной в вероятностном смысле,
и дисперсия оценки стремится к нулю.
Для доказательства состоятельности
оценок параметров парной регрессии
получим выражения для элементов
автоковариационной матрицы вектора
оценок параметров
.
В матричной форме
=AY,
поэтому
=Cov{AY,AY}=
.
Определим элементы автоковариационной
матрицы случайного вектора Y:
,
где
-единичная
матрица с размером nxn.
Таким образом
=
=(
Так как Q=
,
получим выражения элементов ковариационной
матрицы вектора
через выборочные данные:
,
таким образом имеем:
,
.
Как следует из этих выражений, с
увеличением объема выборки n
дисперсии несмещенных оценок параметров
стремятся к нулю, то есть МНК-оценки
параметров парной регрессии являются
состоятельными.
В
качестве эффективности оценок чаще
всего используется критерий вида:
Е{
}=
.
Несмещенная оценка является эффективной,
если она имеет минимальную дисперсию
по сравнению с любыми другими оценками
этого параметра в классе выбранных
процедур(т.е. является менее случайной).
Доказательство эффективности МНК-оценок
выполняется
путем сравнения их дисперсий с дисперсиями
линейных несмещенных оценок
.
Пусть
-вектор
несмещенных линейных оценок параметров
,
определяемых выражением вида
,
где С- произвольная(2хn)-
матрица. Тогда в силу несмещенности
оценки
и равенства AX=
,
можно записать:
,
откуда следует, что CX=0.
Определим автоковариационную матрицу
вектора оценок
:
,
так как Cov{Y,Y}=
I и С
=0,
A
=
.
Диагональные элементы автоковариационной
матрицы-дисперсии оценок параметров.
Диагональные элементы
неотрицательны, поэтому Var(
Var(
,
т.е МНК-оценка
является эффективной, имея минимальную
дисперсию по сравнению с любыми
несмещенными оценками неизвестного
параметра в классе линейных процедур