Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах

Примеры структуризации задач

59

Изменяемые ячейки: СЗ:С4, ЕЗ:Е4. В двух первых размещаются вложения первого года, в двух последних — вложения второго года. Ограничения: С5 = Н6; Е5 = D5; Целевая ячейка: Н5.

Задачи логического выбора

Этот класс задач связан с выбором конкретных вариантов органи­зации системы с учетом ресурсных ограничений. Как правило, в зада­чах логического выбора используются изменяемые ячейки, которые могут хранить одно из двух значений: 1 или 0, иначе «выбирать вариант организации» или «не выбирать». В математическом программирова­нии такие задачи называются задачами булевского программирования.

Использование булевских переменных позволяет сформулировать различные логические ограничения выбора.

Например, выбор одного из двух вариантов организации исследу­емой системы (1,2) может определяться двумя булевскими перемен­ными (XI, Х2).

Условие выбора только одного из двух вариантов эквивалентно ло- гическому ограничению: XI + Х2 = 1. Такое ограничение моделирует условие взаимоисключения.

Условие выбора хотя бы одного из двух вариантов эквивалентно] логическому ограничению XI + Х2 >= 1.

Если вариант 2 может быть принят только при принятии вари­анта 1 (взаимообусловленность), следует использовать ограничение Xi >= Х2. Если же вариант 2 должен быть принят при принятии ва-рианта 1, вводится ограничение Х2 >= XI.

В качестве примера рассмотрим задачу о выборе варианта капита-ловложений.

Распределение капиталовложений

Проект	Распределение капиталовложений			Прибыль
	Год1	Год 2	ГодЗ
1	5	1	8	20
2	4	7	10	40
3	3	9	2	20

Продолжение таблицы

Проект	Распределение капиталовложений			Прибыль
	Год1	Год 2	ГодЗ
4	7	4	10	15
5	8	6	1	30
Максимальный объем капиталовложений	25	25	25

Рассматриваются пять проектов, которые могут быть осуществле­ны в течение последующих трех лет. Ожидаемые величины прибыли от реализации каждого из проектов и распределение необходимых ка­питаловложений по годам (в тыс. долл.) приведены в таблице. Пред­полагается, что каждый утвержденный проект будет реализован за трехлетний период. Требуется выбрать совокупность проектов, кото­рой соответствует максимум суммарной прибыли.

Математическая формулировка задачи

Добавим к таблице исходных данных столбец изменяемых ячеек. Обозначим содержимое этих ячеек как Xi, где i = 1,2, ..., 5 определя­ет номер проекта, a Xi определяет решение: вкладывать (Xi =1) или нет (Xi = 0) средства в i-ый проект. Такую переменную, принимаю­щую только два возможных значения (1 или 0), называют булевской.

Ограничения:

1) по объему капиталовложений

в первый год: 5* XI + 4*Х2 +3*ХЗ + 7*Х4 + 8*Х5 <= 25; во второй год: 1* XI + 7*Х2 +9*ХЗ + 4*Х4 + 6*Х5 <= 25; в третий год: 8* XI + 10*Х2 +2*ХЗ + 10*Х4 + 1*Х5 <= 25;

2) «естественные» ограничения: Х1- Х5 = двоичные (булевские).

Целевая функция:

Z= 20*Х1 + 40*Х2 + 20*ХЗ + 15*Х4 + 30*Х5. Максимизировать Z.

Электронная таблица в этом варианте может выглядеть следую­щим образом.

Задачи для исследования систем управления

61

Формула =S(F3:F7)*(B3:B7) записывается в системе EXCEL как СУММПРОИЗВ (F3:F7;B3:B7). Она определяет сумму произведений столбца F3:F7 на столбец ВЗ:В7:

СУММПРОИЗВ (F3:F7;B3:B7) = F3*B3 + F4*B4 + F5*B5 + F6*B6 + + F7*B7.

F3:F7 — изменяемые булевские ячейки, F8 — целевая ячейка.

Ограничения: B8:D8 <= B9:D9.

Контрольные вопросы

1. Как связана математическая формулировка оптимизационной задачи со структурой ЭТ, на которой будет проводиться поиск решения задачи?

2. Приведите примеры элементов сходства и различия между математической формулировкой задачи и структурой ЭТ.

3. Укажите основные особенности задач определения оптимального ассорти­ мента продукции.

4. Укажите основные особенности задач о смеси.

5. Могут ли изменяемые ячейки одной задачи иметь разные размерности?

6. Укажите основные особенности систем с дисбалансом. Приведите приме­ ры таких систем.

7. Укажите основные особенности «транспортных задач». Всегда ли они свя­ заны с транспортом?

8. Что такое «скользящий график» и в чем заключается его оптимизация? Приведите примеры.

9. Укажите основные особенности задач оптимизации инвестиций. В чем за­ ключаются основные трудности поиска решения этих задач?

10. Дайте краткую характеристику задач логического выбора. Приведите при­меры логических ограничений.

11. К какому виду математического программирования относятся задачи логи­ ческого выбора?

12. Приведите примеры изменяемых ячеек различных уровней. Как бы Вы определили понятие уровня изменяемой ячейки?

13. Могут ли в одной задаче использоваться изменяемые переменные разных типов (например, булевские и действительные)?

Задачи для исследования систем управления

1. Задачи определения объемов производства товаров и услуг

При подборе задач были использованы источники [1, 2, 3, 7].

1.1. Оптимизация производства карамели

Кондитерская фабрика для производства трех видов карамели А, В и С использует три вида основного сырья: сахарный песок, патоку и фруктовое пюре. Нормы расхода сырья каждого вида на производ­ство одной тонны карамели приведены в таблице. В ней же указано общее количество сырья каждого вида, которое может быть использо­вано фабрикой, а также приведена прибыль от реализации 1 т караме­ли соответствующего вида.

Вид сырья	Нормы расхода сырья (т) на 1 т карамели			Общее кол-во сырья (т)
	А	В	С
Сахарный песок	0,8	0,5	0,6	800
Патока	0,4	0,4	0,3	600
Фруктовое пюре	0	0,1	0,1	120
Прибыль от реализации 1 т продукции (тыс. руб.)	108	112	126

Найти оптимальное сочетание объемов производства карамели (по видам), обеспечивающее максимальную прибыль от ее реализа­ции. Исследовать, как изменятся эти объемы при изменении запасов сырья на фабрике.

62