Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах

Примеры структуризации задач

55

Составление «скользящих» графиков

Такие графики обычно связаны с расписаниями многосменной работы предприятия в условиях нестационарного спроса на товары или услуги, связанные с деятельностью этого предприятия. Эти зада­чи характеризуются наличием многих ограничений, действующих в разные периоды времени. Например, спрос на общественный транс­порт сильно меняется в зависимости от времени суток, спрос на про­даваемые товары в магазине меняется в зависимости от дня недели и времени суток и т. д. Задача состоит в том, чтобы организовать распи­сание обслуживания клиентов (пассажиров, покупателей и т. п.) та­ким образом, чтобы издержки от неравномерности спроса были бы минимальны.

Ниже приводится пример задачи, связанной с неравномерностью покупательского спроса в течение суток.

Составление скользящего расписания при нестационарном потребительском спросе

В таблице приведено количество продавцов, которое необходимо для удовлетворения покупательского спроса в торговом зале магазина в течение суток. Требуется так организовать расписание работы про­давцов, чтобы их общее количество (и соответственно расходы на оплату их труда) было минимальным.

Время суток	Требуемое количество продавцов
0-4	2
4-8	2
8-12	5
12-16	7
16-20	7
20-24	4

Математическая формулировка задачи

Допустим, что продавцы в магазине работают по 8 часов (в смену).

В соответствии с данными задачи количество требуемых продав­цов меняется через 4 часа. Если предположить, что в первую смену работает XI продавцов, во вторую — Х2 и т. д., то график работы про­давцов можно представить следующим рисунком.

Жирные линии означают смены, которые начинаются через 4 часа и продолжаются 8 часов. Смены перекрываются, т. е., напри­мер, с 4 до 8 часов в торговом зале присутствуют (XI + Х2) продав­цов, с 8 до 12 часов — (Х2 + ХЗ) продавцов, а с 0 часов до 4 работа­ют (XI + Х6) продавцов. Этот «скользящий» график и образует рас­писание смен.

XI - Х6 определяют изменяемые (варьируемые) переменные, кото­рые следует определять из условия минимального общего количества продавцов, т. е. целевая функция в этой задаче определяется выраже­нием

: (Xl+X2+X3+X4+X5+x6)=>min.

В качестве ограничений при этом будут выступать условия: Х1+Х6>=2; Х1+Х2>=2; Х2+Х3>=5; Х3+Х4>=7; Х4+Х5>=7; Х5+Х6>=4.

Кроме того, (XI - Х6) должны быть целыми и положительными. Такая структуризация может быть реализована, например, в сле­дующей электронной таблице.

56

Часть 1. Поиск решений на электронных таблицах

57

Здесь столбцы А, В, С, F определяют исходные данные, столбец D — изменяемые ячейки, столбец Е — зависимые ячейки, реализую­щие математическую формулировку задачи. Ячейка F8 — целевая. Ограничения: E2:E7>=F2:F7; E2:E7 — целые и неотрицательные.

Задачи оптимизации инвестиций

Основная цель решения этого класса задач — найти оптимальное ] распределение (вложение) финансовых средств, доставляющее макси­мальную прибыль (в будущем) по истечении срока действия инвести­ционного проекта. Для этих задач характерно наличие большого раз- j нообразия способов вложения средств, использование ограничений в виде равенств, определяющих разделение общей суммы инвестицион­ных вложений на части — вложения в различные проекты. Число та-ких ограничений зависит от сроков реализации инвестиционных про-ектов. При этом на каждом временном отрезке, связанном с инвести­циями, в электронной таблице «появляются» новые варьируемые] переменные. Такие переменные определяют процесс деления прибы­ли, полученной на предыдущем этапе инвестиций, на части — вложе-ния в проекты на последующем этапе.

При большом выборе инвестиционных проектов с различными сроками окупаемости и коэффициентами прибыли эти задачи стано-вятся весьма сложными и трудно формализуемыми.

Оптимизация инвестиций в проекты

Денежные средства могут быть использованы для финансирова-ния двух проектов. Проект А гарантирует получение прибыли в раз-мере 70 центов на вложенный доллар через год. Проект В гарантирует получение прибыли в размере 2 долл. на каждый инвестированный доллар, но через два года. При финансировании проекта В период инвестиций должен быть кратным двум годам. Как следует распоря-диться капиталом в 100 тыс. долл., чтобы максимизировать суммар-ную величину прибыли, которую можно получить через три года по-сле начала инвестиций?

Математическая формулировка задачи

Содержимое изменяемых ячеек

Ха, Ya — вложения в проект A; Xb, Yb — вложения в проекг В. Возможные инвестиции могут быть иллюстрированы схемой, приведенной на рисунке.

В этой схеме стрелки определяют возможные вложения в проек­ты, а символические обозначения на стрелках — объемы таких вложе­ний. Из приведенной схемы следует, что в исследуемой системе суще­ствуют только два возможных срока вложений — начало первого года и начало второго года. Суммы вложений в эти сроки определяют со­держимое изменяемых ячеек. «Точка вложений» в начале третьего года одна, в нее вкладываются все доходы от предыдущих вложений. Эта точка не связана с какими-либо вариациями сумм.

Ограничения: Ха + ХЬ = 100 000; Ya + Yb = (1 + 0.7)*Ха.

Целевая функция: Z = Ya*(l + 0.7)² + Yb*(l + 2) + Xb*(l + 2)*(1 + 0,7).

Максимизировать Z.

Представление этой задачи в форме электронной таблицы целесо­образно оформить в следующем виде.

58