Модуль іі. Аналіз випадкових величин в соціальних системах тема №5. Основні властивості випадкових величин

5.1. Загальні поняття випадкових величин в системі та їх основні характеристики. Дискретні та неперервні величини

Для соціальних систем заповнювачами каналів зв'язку між елементами системи можуть бути:

• реальні (фізичні) предмети, з їх кількісним та якісним описом;

• інформація, у вигляді повідомлень про події в системі.

Існує тісний системний зв’язок між елементами системи та інформацією про них.

Величини, що можуть приймати різні значення в залежності від зовнішніх умов, називають випадковими чи стохастичними за природою.

Будь яка величина в системі є наслідком дії інших величин. Випадковою вона вважається тоді, коли зв’язок між причинами та наслідками не може бути встановлений відомими аналітичними методами. Це відбувається через недостачу знань, відсутності доступу до інформації та потрібного обладнання, чи небажання описувати процес повністю. Таким чином, випадковість – міра недоступності знань для дослідника.

За типом випадкові величини поділяються на неперервні та дискретні.

Неперервні величини набувають будь які значення на заданому інтервалі.

Дискретні величини набувають конкретні, заздалегідь обумовлені значення.

Для випадкових величин використовують спеціальні статистичні методи їхнього опису та аналізу, що базуються на законах теорії ймовірностей.

5.2. Класифікація подій. Методи аналізу ймовірностей випадкових подій

Подія - будь який факт, який за результатом досліду може відбутися, чи не відбутися.

Елементарна подія – подія яку неможливо розкласти на менші події (множини).

Складна подія – подія яку можна розкласти на множину елементарних подій.

Події за результатом поділяються на:

• достовірні (відбудуться обов’язково);

• неможливі (не відбудуться ніколи);

• випадкові (можуть відбутися, чи не відбутися).

Імовірність – числова характеристика, що відображає можливість появи події за результатом експерименту, який повторюватися необмежену кількість разів.

Про імовірність події можна казати тільки в рамках певного дослідження.

Числове значення імовірності достовірної події дорівнює 1, неможливої дорівнює 0, випадкової знаходиться в інтервалі від 0 до1 (включаючи 0 та 1).

Якщо в конкретному експерименті поява події A виключає появу події В, такі події називають несумісними.

Якщо в конкретному експерименті поява події A не виключає появу події В, такі події називають сумісними.

Якщо в конкретному експерименті поява події A, складається з того що подія A не відбувається, такі події називають протилежними та їх імовірність пов’язана співвідношенням:

Р(A) = 1 - Р(A)

Якщо в конкретному експерименті поява події A не залежить від появи події В, такі події називають незалежними, в протилежному випадку - залежними.

Поняття залежність та сумісність подій характеризують різні властивості подій і їх не можна плутати. Несумісні події завжди залежні (згідно визначення несумісних подій, поява подія A повністю виключає появу події В). Сумісні події можуть бути як залежними, тек і незалежними (згідно визначення сумісних подій, якщо подія A відбулась то відбудеться чи не відбудеться подія В залежить від умов експерименту).

Якщо імовірність того, що подія А відбудеться дорівнює P(А), то імовірність того, що подія не відбудеться, дорівнює: Р(A) = 1 - Р(A)

Імовірність одночасного настання двох незалежних подій визначається добутком їхніх ймовірностей:

P(АВ) = P(А) P(В).

Якщо результатом експерименту можуть бути несумісні у сукупності події А1, А2, ...Аn (за умовою, що тільки ці події можуть бути результатом), то їх множина утворює повну групу подій (вичерпну множину), для якої справедливє рівняння:

Якщо кожного разу, як відбувається подія А, відбувається подія В, то говорять, що подія В є наслідком події А, чи що з події А витікає подія В (позначається: А  В чи В  А ). Для таких подій справедлива нерівність:

Р(А)  Р(В)

Умовна імовірність – імовірність здійснення події A при умові, що відбулась подія В (позначається як Р(A|В)).

Якщо події А та В незалежні, тоді Р(A|В)= Р(A).

Імовірність одночасного настання двох залежних подій визначається формулою Байеса

P(А|B) P(B) = P(B|А) P(А)

де ліворуч і праворуч записане те саме — імовірності одночасного настання двох залежних подій.

Якщо доповнити цю формулу загальним виразом безумовної імовірності події А, отримаємо формулу

P(А) = P(А|B) P(B) + P(А|B) P(B),

що означає: дана подія А може відбутися або після того як подія B відбулася, або після того, як воно не відбулася (B) — третього варіанту не істує.

Формули Байеса чи байесовский підхід до оцінки імовірнісних зв'язків для простих подій і дискретно розподілених випадкових величин відіграють вирішальну роль при прийняті рішення в умовах невизначеності. У цих умовах ключовою є стратегія керування, що базується на прогнозі апостеріорної імовірності події.

Якщо подія В є наслідком події А, та утворює множину n подій: {B₁,B₂,...,B_n}, то імовірність події А розраховується за формулою:

яку називають формулою повної імовірності.

В цій схемі подія А відбувається тільки разом з якоюсь В_i подією із множини {B₁,B₂,...,B_n}. Така В_i подія виступає як єдиноможлива подія з множини {B₁,B₂,...,B_n}, та взаємовиключаюча умова, що визначає появу події А, чи як гіпотеза, при підтверджені якої відбудеться подія А.

Ця формула прогнозує можливість появи події А за відомими апріорними ймовірностями здійснення гіпотези.

Апріорні та апостеріорні імовірності пов’язані співвідношенням, яке має назву теорема гіпотез чи формула Байеса:

.

яка оцінює здійснення кожної гіпотези, якщо подія А відбулась.

Якщо між подіями А і В немає зв’язку (одна не залежить від іншої), то дана формула перетворюється в тривіальну тотожність, ця обставина використовується при вирішенні задач оцінки тісноти зв'язків в кореляційному аналізі.