5.2. Итерационные методы решения систем лау. Метод простой итерации. Условия сходимости и критерий остановки итераций.

Общая схема больш-ва итерационных методов реш-я СЛАУ (1) с невырожденной матрицей и заданным вектором пр. части имеет вид , (2)

где – матрица итерационного метода, – начальное приближение итерационного процесса. Последоват-ть , - итерационные приближения искомого решения.

Итерационный метод, в котором для вычисления каждого нового используется лишь - итерационный методом 1 порядка, или одношаговым итерационным методом.

Итерационный процесс (2) приводит к решению задачи (1)  вып-ся условия:

1. последовательность векторов , , сходится.

2. предел данной последовательности является решением (1).

Из 2 => матрица и вектор могут быть заданы в виде: , (3)

где – единичная матрица, – невырожденная матрица: выполнено условие 1.

_{Для произвольных невырожденных матриц} и существует единственное значение вектора такое, что и с учетом выбора (3):

Разнообразие итерационных методов связано с выбором конкретного вида матрицы - переобусловливателя. Если матрица одинакова для всех итераций, то итерационный процесс называется стационарным. Среди нестационарных традиционно используются переобусловливатели вида , где для каждой итерации выбирается из расчета наибольшей скорости сходимости. С точки зрения алгоритмической реализации итерационный процесс (2), (3) удобно представить в виде (5)

При (5), в отличие от (2), (3), не нужен явный вид м-цы и выч-е очередного итерационного приближения сводится к решению СЛАУ: (5')

Метод простой итерации: Стационарный одношаговый итерационный метод вида (6). По (2) . По (5) .

Теорема. Пусть – симметричная положительно определенная матрица , тогда итерационный метод (6) сходится при .

Доказательство: Спектральная норма симметричной матрицы определяется: . Если – симметричная матрица, то матрица также будет симметричной и . Тогда . Из положительной определенности матрицы следует, что при выполняется оценка , из которой следует, что .

Теорема. Пусть – симметричная положительно определенная матрица: , , где положит-е постоянные , – мин-е и макс-е собственные значения матрицы . Тогда максимальная скорость сходимости итерационного процесса (6) достигается при , при этом (7)

Доказательство: Поиска оптимального зн-я итер-го параметра = определение условия минимума как функции от. Найдем явный вид данной функции.

.

Несложно заметить, что и => в интервале значений функция принимает минимальное значение. Поскольку функция определяется максимальным значением модулей двух линейных функций, то минимум такой функции может достигаться только в точке равенства модулей данных линейных функций. Ур-е имеет единственный корень на интервале : . При этом . Теорема доказана.

_{Скорость сходимости метода простой итерации зависит от отношения} даже в случае оптимального выбора итерационного параметра. Для симметричных положительно определенных м-ц , . => , где – число обусловленности . Для плохо обусловленных матриц (не близко к 1) значение велико, и тогда по (7) (эфф-ть м-да может ухудшаться при )

Вычислительная сложность итерационных методов. Число итераций.

Точное решение задачи неизвестно=>для оценки погрешности текущего итер. приближения используется невязка приближ. реш-я, связанная с ошибкой соотношением:

.

При сходимости итер-го процесса норма погрешности убывает пропорционально невязке =>в качестве критерия остановки итераций традиционно используется условие (8)

Кол-во итераций для достижения заданной точности можно оценить, зная норму матрицы итерационного процесса.

Норма матрицы итерационного процесса характеризует скорость его сходимости. Максимальная скорость сходимости достигается при минимальном значении .

Можно также использовать переобусловливатель для уменьшения числа итераций для достижения заданной точности решения.

6.1. Неявные итерационные методы (Зейделя, Якоби, Последовательной верхней релаксации) - стационарные

(1) с невырожденной матрицей

, , (2), где – матрица итерационного метода, –начальное приближение. Последовательность , - итерационные приближения решения.

Итерационный процесс (2) приводит к решению (1) 

3. последовательность векторов , , сходится.

4. предел данной последовательности является решением (1).

Из 2 => и вектор могут быть заданы в виде: , (3)

где – произвольная невырожденная матрица (для условия 1).

В случае плохо обусловленных матриц (число обусловленности большое, не стремится к 1) сходимость итерационных методов вида (2), (3) с оператором может оказаться очень медленной => использование неявных итерационных методов или итерационных методов с переобусловливателем.

Неявный итерационный метод вида (4) эквивалентен явному итерационному методу (5), где .

Основное функциональное назначение матрицы в том, чтобы в итерационных процессах (4) и (5) достичь существенного уменьшения числа обусловленности матрицы по сравнению с числом обусловленности исходной матрицы .

Второе при выборе переобусловливателя: возможности вычисления матрицы (решения системы ) намного эффективнее, чем обращение матрицы ().

Из функционального назначения идеальным переобусловливателем является матрица . Но с точки зрения вычислительной эффективности выбор оказывается абсолютно бесполезным, т.к. он возвращает снова к необходимости решения .

Метод Якоби. . В качестве переобусловливателя используется диагональная матрица, элементы которой совпадают с диагональными элементами матрицы . Выбор диагонального переобусловливателя практически не увеличивает вычислительную сложность отдельной итерации по сравнению с явным методом. Данный метод может оказаться полезным для разреженных матриц с диагональным преобладанием в случае, когда диагональные элементы матрицы существенно отличаются друг от друга. Такие матрицы возникают, например, при дискретизации многомерных уравнений математической физики с сильно неоднородными коэффициентами. Если диагональные элементы матрицы одинаковы (или почти совпадают), то метод Якоби не имеет преимуществ по сравнению с явным методом.

Метод Зейделя (Гаусса-Зейделя). Матрица имеет треугольный вид и строится непосредственно из соответствующих элементов матрицы . В силу треугольности матрицы данный метод имеет небольшой рост вычислительных затрат на одну итерацию и примерно вдвое (иногда более) сокращает число итераций для достижения заданной точности по сравнению с явным методом. Данный метод практически всегда имеет положительный эффект по сравнению с явным методом и Якоби.

_{Метод последовательной верхней релаксации.} В некотором роде является обобщением метода Зейделя и метода Якоби. Переобусловливатель строится из верхней треугольной части матрицы без главной диагонали: и диагональных элементов матрицы: : , ,

( нижняя релаксация, A=A^*>0, => метод релаксации сходится)

При метод последовательной верхней релаксации совпадает с методом Зейделя, при – метод совпадает с методом Якоби. Оптимальное значение параметра обычно лежит в интервале . В большинстве случаев метод последовательной верхней релаксации превосходит по эффективности методы Якоби и Зейделя. Метод популярен для многомерных задач математической физики. -т модификации данного метода, основанные на чередовании верхней и нижней треугольных матриц в .

Для реализации этих трех методов не нужно знания спектра задачи.