9.1. Итерационные методы решения проблемы собственных значений. Степенной метод.

порядка - квадратная невырожденная матрица .

Число называется собственным значением матрицы , если существует такой ненулевой вектор , удовлетворяющий равенству (1)

Вектор , удовлетворяющий равенству (1), называется собственным вектором матрицы . Совокупность всех собственных значений называется спектром матрицы.

Уравнение (1) имеет нетривиальные решения  (2)

Функция - характеристический многочлен матрицы. Множество его корней совпадает со спектром.

Степенной метод: Пусть нужно найти макс. по модулю собственное значение , причем, искомое собственное значение простое. Пусть .

Заметим, что при умножении матрицы на ее собственный вектор последний преобразуется в коллинеарный вектор , причем длина полученного при этом вектора изменяется пропорционально соответствующему собственному значению . Данное свойство собственных векторов лежит в основе степенного метода. У матриц простой структуры система собственных векторов образует базис в , любой вектор может быть представлен: => в разложении по собственным векторам при умножении матрицы на вектор наибольший рост (наименьшее убывание) испытывает составляющая, соответствующая максимальному собственному значению. Рассмотрим последовательность (3)

Т.к., то при сходится к собственному вектору . Компоненты вектора , соответствующие другим собственным значениям стремятся к нулю со скоростью ГП. Скорость сходимости последовательности определяется отношением – знаменателем геометрической прогрессии самой медленной из компонент .

Заметим, что асимптотика определяется также значением , которое в пределе стремиться к нулю или бесконечности, в зависимости от => нужна нормировка промежуточных результатов. В качестве нормировочного коэффициента наиболее подходящий выбор – () => (4)

Использование итерационной процедуры (4) позволяет определить как собственный вектор, соответств-й макс собств. значению, так и величину собств. значения

, (5) . (6)

После того как наибольшее собственное значение определено, данный подход может быть использован для вычисление других собственных значений и собственных векторов.

Недостаток степенного метода: не может быть использован в случае, когда матрица имеет равные по модулю собственные значения. Итерационный процесс (4) в этом случае не сходится.

Есть возможность находить степенным методом комплексные характеристические числа и соответствующие инвариантные подпространства для вещественных матриц.

9.2. Спектральный метод исследования устойчивости разностных схем для уравнений с постоянными коэффициентами.

Произвольное частное решение дискретной задачи ищется в виде Подстановка такой сеточной функции в разностное уравнение позволяет определить, при каких данная сеточная функция удовлетворяет разностному уравнению.

для действительных - решение устойчивое.

: - частное решение неограниченно возрастает при - неустойчивое.

Спектральный метод (метод гармоник) позволяет получить необходимые условие устойчивости дискретных моделей. Выяснение вопроса о достаточности полученных условий устойчивости анализируемой схемы требует доказательства полноты системы линейно независимых решений, используемых в качестве пробных сеточных функций при спектральном анализе устойчивости. Естественными краевыми условиями для спектрального метода являются периодические либо однородные граничные условия.

В этом случае пространственные гармоники, используемые в качестве пробных функций, совпадают с собственными функциями дифференциальных и разностных операторов с постоянными коэффициентами.

Собственные функции, удовлетворяющие однородным краевым условиям, образуют ортогональный базис в соответствующем пространстве сеточных функций. В силу этого полученные в рамках спектрального подхода необходимые условия устойчивости являются одновременно и достаточными.

Если разностная задача имеет краевые условия, отличные от однородных либо периодических, то спектральный метод оставляет открытым вопрос об устойчивости данной разностной задачи относительно возмущений таких краевых условий. Этот недостаток спектрального метода вряд ли можно признать существенным, поскольку возмущения краевых условий дискретной модели, как правило, не имеют катастрофических последствий на поведении приближенного решения, если таковые отсутствуют в исходной дифференциальной задаче.

Пример 1. Исследовать устойчивость по начальным данным явной схемы:

,

Будем искать частное решение разностной задачи в виде . Подстановка данного решения в разностную схему при дает следующее равенство

,

откуда .

при условии , что является необходимым условием устойчивости рассматриваемой явной схемы. К такому же результату приводит спектральный анализ устойчивости данной схемы с использованием в качестве пробных функций соответствующие собственные функции разностного оператора второй производной с нулевыми краевыми условиями. Относительно набора данных собственных функций нами была установлена их ортогональность и полнота. Таким образом, спектральный критерий устойчивости явной разностной схемы в случае задачи Дирихле с нулевыми краевыми условиями дает необходимые и достаточные условия устойчивости рассмотренной схемы.