-
Число обусловленности матрицы системы лау. Оценки вычислительной погрешности при решении систем лау
Пусть правая часть системы возмущена
– задана с абсолютной погрешностью
.
Тогда фактически вместо
мы решаем возмущенную задачу
(1)
где
– абсолютная погрешность решения,
ассоциированная с возмущением правой
части. Погрешность
является решением следующей задачи:
(2)
(3)
- норма абс. вел-ны погрешности
Последнее
неравенство (3) выражает устойчивость
решения по правой части, что эквивалентно
требованию ограниченности
.
Из постановки задачи имеем
.
(4)
Из неравенств (3) и (4) следует оценка относительной погрешности возмущенной задачи:
(5)
Согласно
(5) погрешность возмущенной задачи
пропорционально возрастает с ростом
возмущений правой части, причем
коэффициент пропорциональности
определяется произведением норм матриц
и
.
Число
,
(6)
характеризующее
зависимость относительной погрешности
решения СЛАУ от величины относительного
возмущения правой части, называется
числом обусловленности
матрицы. Если
число обусловленности матрицы велико,
то говорят, что данная матрица плохо
обусловлена. Если число обусловленности
близко к единице, то матрица считается
хорошо обусловленной. Обычно
для оценки числа обусловленности
используется спектральная норма матриц
(
,
сингулярные числа матрицы вычисляются
как корень из совпадающих собственных
значений матриц
),
которая является подчиненной для
евклидовой векторной нормы. Для
симметричных матриц
число обусловленности определяется
отношением модулей наибольшего и
наименьшего собственного значения
матрицы.
Для плохо обусловленных матриц малая
ошибка входных данных приводит к
существенному изменению решения;
аналогичным образом и для погрешности
промежуточных вычислений. Так, например,
в процессе приведения матрицы системы
к треугольному виду выполняется ряд
преобразований ее коэффициентов. В
итоге, на этапе обратного хода метода
Гаусса решается задача с возмущенными
коэффициентами матрицы и полная оценка
относительной погрешности должна
исходить из следующей возмущенной
задачи:
,
(7)
Если матрица возмущенной задачи (7) не
вырожденная, то возмущения коэффициентов
матрицы могут быть соотнесены с
возмущениями правой части и вместо
задачи (7) достаточно
рассмотреть задачу
(8)
для
которой имеет место оценка (5). На
практике величина
может быть вычислена на основе полученного
приближенного решения задачи
:
(9)
Вектор
принято называть невязкой
решения СЛАУ. Норма данного
вектора на практике служит количественной
мерой возмущения правой части задачи
и используется для оценки погрешности
приближенного решения.
Оценки числа обусловленности матриц требуют вычисления обратной матрицы или, по крайней мере, оценки максимального и минимального собственных значений в случае симметричных матриц. В силу этого практическая оценка фактической точности приближенного решения системы ЛАУ согласно неравенству (5) представляет собой сложную задачу. Тем не менее, для ряда практически значимых случаев оценка (5) представляется полезной в плане контроля точности вычислений.