10.1. Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона.
В отличие от систем линейных
алгебраических уравнений, для решения
которых могут применяться как прямые
(или точные),
так и итерационные
(или приближенные)
методы, решение систем нелинейных
уравнений можно получить только
приближенными, итерационными методами.
Они позволяют получать последовательность
приближений
.
Если итерационный процесс сходится, то
граничное значение
является решением данной системы
уравнений.
Рассмотрим нелинейную систему уравнений
(1)
Она может быть также
представлена в матричном виде:
(1’), где
Её решением называется
такое значение
,
для котрого
Если для посл. xn,
сходящейся к х*,
верна формула:
(k – положит-е действ-е число), то k - скорость сходимости данной последовательности.
Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений: метод простых итераций, преобразование Эйткена, метод Ньютона, метод градиентного спуска, метод Пикара
Метод Ньютона
Основная идея метода Ньютона состоит в выделении из уравнений линейных частей, которые являются главными при малых приращениях аргументов. Это позволяет свести исходную задачу к решению последовательности линейных систем.
Рассмотрим систему уравнений:
в предположении, что
– непрерывно-дифференцируемые функции.
Полагая
,
перейдём к векторной записи
(2)
Опишем общий шаг метода.
Пусть уже получено приближение
Разложим функцию
в ряд Тейлора, оставив только два первых
члена в силу малости отклонения
приближения
от корня:
,
–
матрица Якоби для
.
Очередное приближение
определяется как решение линейной
системы
,
т.е.
Если матрица Якоби
не вырождена, то решение системы линейной
системы можно записать в явном виде,
что приводит к стандартной
формуле метода Ньютона
(3)
Таким образом, в основе
метода Ньютона лежит идея линеаризации
вектор-функции
в окрестности каждого приближения (на
каждой итерации), что позволяет свести
решение системы (2) к последовательному
решению линейных систем.
Через уже известное
приближение
к корню
можно записать, что
,
где
.
Тогда после линеаризации получим систему
уравнений, линейную относительно
.
Таким образом, на каждом шаге мы будем
находить приращения
,
и новое приближение к решению по формулам:
– система линейных уравнений.
Точное условие сходимости метода Ньютона имеет достаточно сложный вид. Но очевидный результат: в достаточно малой окрестности корня итерации сходятся, если матрица Якоби невырожденная, причём сходимость квадратичная.
Пусть в
выбрана нек-я векторная
и согласованная с ней матричная
.
Теорема (о сходимости). Пусть
1) вектор-функция
определена и непрерывно-дифференцируема
в области
где
– решение уравнения (2),
2) для всех
существует обратная матрица
,
причём
3) для всех
4)
Тогда метод Ньютона (3)
1)
2)
3)
Замечание.
Оценка погрешности метода Ньютона:
10.2. Устойчивость и сходимость разностных схем. Оценка погрешности разностного решения.
Решение разностной задачи
сходится к решению дифференциальной
задачи
,если
при
,
где
некоторая норма в пространстве сеточных
функций.
Разностная
схема имеет
-й
порядок точности по шагу h
(или h и
),
если для погрешности приближенного
решения
при любых достаточно малых шагах сетки
выполняется оценка
,
(или
).
Порядок точности разностных схем
относительно шагов сетки по пространственной
и временной переменной, вообще говоря,
не обязательно совпадает.
Разность между дискретными и непрерывными производными принято называть погрешностью аппроксимации или ошибкой дискретизации дифференциального оператора на данной функции. Погрешность аппроксимации дифференциальных операторов может быть выражена путем разложения дифференцируемой функции в степенной ряд в окрестности фиксированного узла сетки (если возможно). Погрешность аппроксимации дискретной модели складывается из погрешностей аппроксимации каждого из ее элементов (погрешности аппроксимации производных, граничных условий, коэффициентов, функций и т.п.).
Разностная схема аппроксимирует дифференциальную задачу, если погрешность аппроксимации данной разностной схемы на решении дифференциальной задачи стремиться к нулю при шагах сетки, стремящихся к нулю.
Следует подчеркнуть отличие понятий погрешности приближенного решения и погрешности аппроксимации задачи. Погрешность решения определяется разностью между точным решением и некоторым его приближением. Погрешность аппроксимации дискретной задачи выражает невязку, которая возникают при подстановке точного решения в уравнения дискретной задачи, характеризует величину возмущений, связанных с переходом от дифференциальной модели к дискретной.
!!Устойчивость дискретной модели не следует из устойчивости дифференциальной задачи, которую данная дискретная модель аппроксимирует.
Разностная схема называется устойчивой, если ее решение непрерывно зависит от входных данных, т. е. малому изменению входных данных соответствует малое изменение решения.
Устойчивость характеризует чувствительность разностной схемы к различного рода погрешностям, она является внутренним свойством разностной задачи, и это свойство не связывается непосредственно с исходной дифференциальной задачей (в отличие от сходимости).
Устойчивость бывает условной и безусловной в зависимости от того, накладываются ли ограничения на соотношения между шагами по разным переменным.
Если решение исходной дифференциальной задачи существует, а разностная схема устойчива и аппроксимирует задачу, то разностное решение сходится к точному.
Для доказательства устойчивости
дискретной модели
достаточно
доказать, что приближенное решение
удовлетворяет неравенству
,
M – постоянная, не зависящая от шагов сетки. Это неравенство фактически означает непрерывную зависимость приближенного решения от правой части.
Произвольное частное решение дискретной
задачи ищется в виде
Подстановка
такой сеточной функции в разностное
уравнение позволяет определить, при
каких значениях
данная сеточная функция удовлетворяет
разностному уравнению.
- Если
для произвольных действительных
,
данное решение будет устойчивым.
- Если же,
напротив, для некоторого значения
мы получим
,
то такое частное решение будет
неограниченно возрастать при
,
т.е. является неустойчивым.