- •1.1. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса (вычислительная сложность, выбор ведущего элемента).
- •1.2. Понятие об одношаговых и многошаговых методах. Метод Эйлера решения задачи Коши для системы оду первого порядка.
- •2.1. Lu представление матрицы. Обращение матриц и вычисление определителя.
- •2.2. Локальная и глобальная ошибка одношагового метода решения задачи Коши. Задача для погрешности метода, устойчивость и сходимость.
- •3.1. Нормы векторов и матриц. Понятие согласованности и подчиненности матричных норм
- •3.2. Методы Рунге-Кутта. Схема метода четвертого порядка.
- •Число обусловленности матрицы системы лау. Оценки вычислительной погрешности при решении систем лау
- •Многошаговые методы. Явные и неявные методы. Метод Адамса
- •5.1. Понятие устойчивости численных методов для жестких систем. Метод Гира.
- •5.2. Итерационные методы решения систем лау. Метод простой итерации. Условия сходимости и критерий остановки итераций.
- •6.2. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов. Сеточный шаблон. Явные и неявные схемы для нестационарных задач математической физики.
- •7.1. Прямые методы вычисления собственных значений. Преобразования подобия. Метод Данилевского.
- •7.2. Порядок аппроксимации разностной схемы. Оценка порядка аппроксимации разностной схемы с весами для нестационарного уравнения теплопроводности.
- •8.1. Оптимальное значение итерационного параметра. Метод минимальных невязок.
- •8.2. Основные понятия теории разностных схем. Пространство сеточных функций и сеточные нормы.
- •9.1. Итерационные методы решения проблемы собственных значений. Степенной метод.
- •9.2. Спектральный метод исследования устойчивости разностных схем для уравнений с постоянными коэффициентами.
- •10.1. Итерационные методы решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона.
- •10.2. Устойчивость и сходимость разностных схем. Оценка погрешности разностного решения.
- •21.1. Спектр собственных значений разностного оператора второй производной.
- •21.2. Разностные аналоги формул Грина и теоремы вложения норм сеточных функций.
-
Многошаговые методы. Явные и неявные методы. Метод Адамса
Можно построить численный метод высокого порядка аппроксимации, и при этом будет требоваться вычисление функции правой части только в узлах сетки. Такая задача решена в рамках многошаговых методов. Общая формулировка m-шагового линейного метода имеет вид: , (0)
где .
Особенность многошаговых методов состоит в том, что приближенное решение в произвольном -том узле сетки вычисляется с использованием значений приближенного решения в предыдущих m узлах сетки. Отметим, что начальные условия задачи Коши заданы только в одном узле. Для начала расчетов по (0) нужно получить недостающие m-1 значений решения. Это, например, можно осуществить с помощью формул Р-К или метода Эйлера, но шаг сетки при этом необходимо брать достаточно малым, чтобы погрешность, вносимая в приближенное значение недостающих неизвестных, была сопоставима с ожидаемой погрешностью многошагового метода.
Если определены (с достаточной точностью) значения решения в узлах сетки , то уравнение (0) дает рекурсивный алгоритм нахождения приближ-го решения в узлах сетки При этом функция правой части в каждом узле сетки вычисляется однократно.
Если , то (1)
Разностные методы вида (1) принято называть явными, подчеркивая тем самым возможность выразить в нем неизвестное решение в явном виде.
Если , то решение уравнения (0) в общем случае не может быть выражено в явном виде: (2)
В этом случае метод называется неявным. Для нахождения неизвестного решения может быть использован какой-либо итерационный метод. Например, итерационный метод Пикара .
В качестве начального приближения итерационного метода можно использовать известное решение в предыдущем узле сетки:, либо, например, приближение по схеме Эйлера: . При достаточно малых шагах сетки такой итерационный процесс сходится и позволяет за 2-3 итерации получить удовлетворительную точность решения. Более высокую скорость сходимости может обеспечить итерационный метод Ньютона.
Метод Адамса:
Общая формулировка методов Адамса имеет вид (3)
Относительно методов Адамса известно, что для явных методов вида (3)
максимальный порядок точности равен N, а для неявных схем с максимальный порядок аппроксимации равен N+1. Нахождение коэффициентов для получения максимального порядка аппроксимации аналогично, как и для методов Рунге-Кутты (обеспечивающие обнуление "возмущающих" слагаемых до максимально возможного порядка малости).
Заметим, что в методе Адамса, в отличие от методов Рунге-Кутты, условие достижения максимального порядка аппроксимации приводит к однозначному определение коэффициентов, а сама задача нахождения коэффициентов схемы аналогична построению интерполяционного полинома заданного порядка.
Для явных методов Адамса нахождение неизвестного решения носит характер экстраполяции (приближённое определение значений функции f(x) в точках x, лежащих вне отрезка [x0,xn], по её значениям в точках x0 < x1 < ... < xn), что связано с выходом искомого решения за границы интервала, на котором решение и правые части уже вычислены. В силу этого экстраполяционные (явные) методы Адамса имеют меньшую точность и устойчивость по сравнению с неявными.
Примером методов Адамса могут быть трех- и четырехшаговые явные методы
, (4)
. (5)
Неявный метод Адамса четвертого порядка аппроксимации имеет вид.
. (6)
Заметим, если правая часть задачи зависит от решения, то для вычисления в общем случае требуется использовать неизвестное в данном узле решение . В итоге, уравнение (6) может оказаться неразрешимым явно относительно искомого решения. Для преодоления указанных трудностей на практике обычно используют комбинацию формул (5) и (6). Формула (5) служит для предсказания решения с пятым порядком точности (погрешность на одном шаге на порядок выше порядка аппроксимации), а схема (6) в силу своей неявности, осуществляет коррекцию приближенного решения с целью повышения устойчивости и точности метода.