7.1. Прямые методы вычисления собственных значений. Преобразования подобия. Метод Данилевского.
- квадратная невырожденная матрица.
Число
-собственное значение
,
если существует такой ненулевой вектор
,
удовлетворяющий равенству
(1). Сов-ть всех собственных значений -
спектр. Вектор
,
удовлетворяющий (1) - собственный вектор
. Уравнение
(1) имеет нетривиальные решения 
(2)
Функция
- характеристический многочлен
матрицы. Множество его корней совпадает
со спектром.
Прямой метод вычисления собственных значений:
В прямом методе получают хар-е ур-е в аналитическом виде или определяют алгоритм выч-я коэфф-в уравнения, потом решают это ур-е одним из численных методов.
det(A-λE)
= D(λ ) может быть представлен в виде
D(λ ) =
- сумма всех диагональных миноров первого
порядка матрицы А.
- cумма всех диагональных
миноров второго порядка.
.
Вычислив
,
находим корни полинома одним из численных
методов.
Наиболее эффективный подход к проблеме собственных значений основан на использовании преобразований подобия, позволяющих привести исходную матрицу к треугольному, диагональному или блочно-диагональному виду. Поскольку преобразование подобия не меняет спектр матрицы, то применение такого рода преобразований во многих случаях приводит к решению полной проблемы собственных значений. Наиболее эффективны преобразования подобия в случае симметричных матриц.
Однако во многих случаях достаточно предположить, что среди собственных значений матрицы отсутствуют кратные. В этом случае существует преобразование подобие, приводящее матрицу к диагональному виду.
Способ
построения преобразования подобия:
исп-е элем-х матриц плоских вращений
:
(3)
Матрица
(для определенности пусть
)
отличается от единичной матрицы только
элементами
и
.
- ортогональные =>
-
преобразование плоских вращений,
является преобразованием подобия. При
умножении матрицы слева (справа) на
новая матрица отличается от исходной
лишь эл-ми строк с номерами
и
(столбцами). Полагая
,
рассмотрим произведения:
:
,
:
.
Определим
угол вращения таким образом, чтобы
.
.
Используя тригонометрические тождества, имеем:
,
. (4)
При
выбранном угле поворота в результате
преобразования
уменьшается общая сумма квадратов
недиагональных элементов результирующей
матрицы. Многократное применение такого
рода преобразования с матрицами вращения
:
на текущем шаге
,
приводит к сходимости последовательности
матриц
,
к
матрице диагонального вида, при этом
на диагонали новой матрицы будут
находиться приближенные значения
собственных чисел исходной матрицы
.
Метод Данилевского: Большая погрешность, но большая скорость получения результата.
Метод основан
на известном факте из линейной алгебры
о том, что преобразование подобия
не
меняет характеристического многочлена
матрицы
,
т.к.
.
(
=>
при записи характер-го уравнения на
него сокращаем).
Приводим
матрицу 
с помощью преобразования подобия
к
так называемой канонической форме
Фробениуса:
Для
матрицы
характеристический
многочлен может быть легко записан,
если последовательно разлагать
определитель
по элементам первого столбца =>
=> элементы
1-й строки
являются
коэффициентами её собственного многочлена
=> собственного многочлена матрицы
.
и
связаны
между собой:
Решив
полученное уравнение
,
находим собственные значения матрицы
.
Далее, неособенная матрица
,
полученная в методе Данилевского,
используется при нахождении собственных
векторов матрицы
.
Построение матрицы
в
методе Данилевского осуществляется
последовательно с помощью
преобразований
подобия, которые переводят строки
матрицы
,
начиная с последней, в соответствующие
строки матрицы
.