5. Преобразование Лапласа. Понятие передаточной функции

Преобразование Лапласа связывает функцию F(s)(изображение) комплексной переменнойsс соответствующей функциейf(t)(оригиналом) действительной переменнойt. Это соответствие, по существу, взаимно однозначное для большинства практических целей. Преобразование Лапласа характерно тем, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения и операции над их изображениями. Подход заключается в преобразовании уравнения, содержащего оригиналыf(t),в эквивалентное уравнение относительно соответствующих изображений ЛапласаF(s), гдеs =  + jна основе известной формулы преобразования [2]:

Рассмотрим часть основных свойств преобразования Лапласа, знание которых понадобится для работы с математическими моделями САУ:

• дифференцирование оригинала

• интегрирование оригинала

• линейность

.

Пусть динамика системы управления описывается уравнением вида:

где y(t)- управляемый параметр,g(t)- внешнее воздействие, вызывающее реакцию системы управления. Предполагаем, что имеют место нулевые начальные условия, то есть до приложения внешнего воздействия система находилась в состоянии равновесия (установившемся состоянии). Применим к обеим частям уравнения динамики преобразование Лапласа, получим:

(b sn +...+ b ) Y ( s ) = (am sm + ... +ao) G ( s ).

Проследим связь входных и выходных величин:

.

Введем функцию вида

.

(1.6)

Эта функция является передаточной. Передаточной функцией называется отношение изображений Лапласа выходной величины к входной при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция элементов и систем является одной из важнейших характеристик, определяющих динамические свойства. Отметим, что для всех реальных (физически реализуемых) объектов степень полинома числителя передаточной функции не больше степени полинома знаменателя. Аппарат передаточных функций является эффективным при исследовании линейных стационарных систем, имеющих сложные структурные схемы. Обратный переход от изображения к оригиналу может осуществляться на основе обратного преобразования Лапласа, если оно существует. Для рациональных алгебраических функций обратное преобразование существует всегда и для его получения обычно применяется разложение Хевисайда, рассмотрим его. Пусть

A( s ) = am sm + ...+ a0, B( s ) = bn sn + ...+ b0
представляют собой соответственно полиномы числителя и знаменателя передаточной функции W(s). Пусть корни полинома знаменателя не кратные, тогда переходную и весовую функции можно представить на основе разложения Хевисайда следующим образом: .

При кратных корнях полинома знаменателя применяются другие формулы, учитывающие этот факт.

6. Типовые воздействия

Типовые воздействия это типовые функции времени, подаваемые на вход устройства, по реакции на которые определяются динамические характеристики устройства в переходном режиме. Переходным режимом считается режим перехода технического устройства из одного состояния в другое. Считается, что состояние технического устройства в фиксированный момент времени определяется значением его обобщенных координат. Рассмотрим типовые воздействия.

Типовое воздействие 1 ( t )

Реакция системы управления на функцию 1(t)называется переходной функцией или переходной характеристикой и обозначаетсяh(t).

Импульсная дельта - функция

Реакция системы управления на импульсную дельта - функцию называется импульсной переходной функцией, функцией веса, весовой функцией. Обозначим ее через (t).Особенность дельта - функции заключается в том, что она имеет единичную площадь:

.

Отметим, что импульсная переходная функция зависит только от интервала времени между моментом начала действия импульса и данным моментом времениt. Важно знать, что импульсная переходная функция(t)системы и переходная характеристикаh(t) связаны соотношением:

.

Передаточная функция непрерывной линейной стационарной системы определяется через преобразование Лапласа ее весовой функции, а именно:

Типовые воздействия 1(t)и(t)являются наиболее неблагоприятными для работы технических устройств и их элементов. Если качество управления удовлетворительно при типовых воздействиях, то тем более оно будет удовлетворительно при обычных режимах работы.

Гармоническая функция

Гармонические функции на входе и выходе устройства могут быть

представленны следующим образом:

g_вх(t) =A_вхsint,g_вых(t) =A_выхsin(t+).

Частотные характеристики A()и()описывают установившиеся вынужденные колебания, полученные при подаче на вход устройства гармонического воздействия.A()- амплитудно - частотная характеристика.()– фазо-частотная характеристика.