2. Математическое описание динамики сар

На представленной схеме показано, что между входными и выходными сигналами существует непрерывная функциональная связь во времени. В данном случае САР будет характеризоваться следующими параметрами:

y(t)- управляемый параметр;u(t)- управляющее воздействие;f(t)- возмущающее воздействие;e(t)– рассогласование сигналов;g(t)- задающее воздействие. Значения этих параметров в моменты времениt₁, t₂, ... t_kдают полную информацию о состоянии САР. Пусть состояние ОР характеризуется функциейG(u,f,y),а регулятора - функциейQ(e,u), тогда закон функционирования системы может быть представлен в общем виде системой уравнений вида [1]:

y (t) = G [ y(1), y(2), ..., y(n), f , f(1), ..., f(l), u, u(1), ... ,u(q)]	(1.1)
u (t) = Q [ e, e (1), ... e (n), u(1) , ..., u(q)]	(1.2)
e(t) =g(t) -y(t)	(1.3)

Переменные uиe- внутрение, математически их можно выразить через внешние переменные. Следовательно, можно записать:

y = F [ y(1), ...y(n) , f, f(1) , ...f(l) , g, g(1) , ...g(m) ]

(1.4)

Здесь под y⁽ⁱ⁾ , f⁽ⁱ⁾ , g⁽¹⁾ понимаются соответствующие производные. Уравнение (1.4) называется уравнением динамики. Оно описывает переходные процессы, происходящие в системе. При проектировании сложных технических систем возникают проблемы вычислительного плана особенно, если уравнения нелинейные или высокого порядка. В таких случаях при оценке процессов, описывающих поведение динамической системы, в первом приближении пользуются упрощенной математической моделью, которая получается в ходе линеаризации нелинейного уравнения. Рассмотрим эту процедуру.

Если F- аналитическая функция, то допускается разложение ее в ряд Тейлора в окрестности точки равновесия. В нашем случае точка равновесия есть точка, характеризующая установившееся состояние. Чем меньше отклонение от состояния равновесия, тем меньше ошибка, возникающая в результате замены нелинейного уравнения линейным. Допустим, чтоy(t)является функцией нелинейной, аF- аналитической. Учтем, что состояние равновесия характеризуется уравнением статики. Такое уравнение можно получить из уравнения (1.4), приравняв производные по времени к нулю:

y0=F(0, ..., 0, f0, 0, ...0,g0, 0, ...,0).

Пусть воздействия получили приращения и приняли вид:

g=g0+g, f = f0+f.

Тогда в системе возникает переходной процесс:

y = y0+y.

Представим функцию Fрядом Тейлора в окрестности точки равновесия. Оставим в разложении только линейные члены, учитывая их весомость по сравнению с откидываемыми малыми величинами:

y=F(0,...,0,f0,0,...,0,g0,0,...,0) +y+g+f+ ...

Далее, учтем, что y₀=F(0, ... 0, f₀, 0, ...0,g₀, 0, ...0) и отметим, что в уравнение динамики входят только отклонения, но не сами переменные, кроме того

, поскольку = const.

Поэтому символ приращения можно опустить. Введем коэффициентыа, c, bравные частным производным функцииFпо g, f, y соответственно в точке равновесия. Перепишем уравнение динамики с учетом введенных переменных, получим:

(1.5)

Уравнение (1.5) является линейным с постоянными коэффициентами. Оно называется уравнением динамики в первом приближении. По виду уравнения динамики различают модели, описываемые алгебраическими уравнениями, обыкновенными дифференциальными уравнениями, дифференциальными уравнениями в частных производных, уравнениями в конечных разностях. По виду коэффициентов уравнения различают модели с постоянными (детерминированными, стационарными) коэффициентами, с переменными (недетерминированными, нестационарными) параметрами, с квазистационарными параметрами, то есть стационарными в очень малых интервалах времени. По виду временных функций, различают модели непрерывные, дискретные (цифровые), дискретно-непрерывные. Стационарные и нестационарные системы могут быть как линейными, так и нелинейными. Нестационарные системы характерны тем, что при сдвиге входного возмущения во времени без изменения формы их выходные переменные не только сдвигаются во времени, но и меняют форму. Если входные сигналы в автоматических системах могут действовать непрерывно в течение всего времени работы системы, то такая система называется непрерывной. Любая система управления, поведение которой описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, является стационарной линейной системой. В заключение отметим, что системы управления по виду уравнений динамики разделяются на стационарные и нестационарные, линейные и нелинейные, многомерные и одномерные, непрерывные и дискретные.