3. Квантование непрерывных сигналов и теорема прерывания

Процедура преобразования сигнала непрерывного времени x(t)к дискретному (квантованному по времени) виду называетсяквантованием(рис. 5.4). Такая процедура отражает как реальные процессы, происходящие в цифровых системах управления, так и математические операции, использующиеся в различных сферах теории информации.

Рис. 5.4. Квантование непрерывного сигнала

В результате квантования получается импульсная последовательность

x(kT)(решетчатая функция), которая приt = kTсовпадает с исходным сигналом:

,

а в другие моменты времени она не определена. Потеря информации при квантовании зависит от величины интервала квантования Т или частоты квантования

.

Выбор интервала Тобычно осуществляется из соображений теоретической

возможности восстановления исходного сигнала по полученой в результате квантования импульсной последовательности (дискретной выборке), что отражает содержание известной теоремы прерывания (теоремы Котельникова – Шеннона).

Рассмотрим задачу нахождения сигнала x(t)по известной решетчатой функцииx(kT), полагая, что спектр сигналаx(t)ограничен частотой.

Тогда в соответствии с теоремой прерывания, точное восстановление функции x(t)теоретически возможно при условии, что частота квантования

более чем в 2 раза превосходит наибольшую частоту :

,

а для интервала квантования выполняется

.

Приведенный результат широко используется в задачах идентификации динамических систем и дискретизации непрерывных моделей.

4. Использованиеz- преобразования

Для решетчатых функций времени может быть введено понятие дискретного преобразования Лапласа, определяемое формулой [3]

, (5.6)

где ,- абсцисса абсолютной сходимости. Если, то ряд, определяемый формулой (5.6) сходится и решетчатой функции соответствует некоторое изображение, являющееся функцией величины.

Для исследования импульсных систем большое распространение получило так называемое z- преобразование, которое связано с дискретным преобразованием Лапласа и вытекает из него.

Под z– преобразованием понимается изображение решетчатой функции, определяемое формулой

. (5.7)

Здесь введено обозначение . Откуда следует, чтоz– преобразование

практически совпадает с дискретным преобразование Лапласа и отличается только обозначением аргумента изображения. Из основного выражения следует:

Рассмотрим разностное уравнение вида

.

Если ввести предположение, что решетчатая функция y[n]тождественно равна нулю приn < 0и, кроме того, функцияf[n]прикладывается в момент времениn = 0, то переход кz - изображению дает

Изображение искомой решетчатой функции можно представить в виде

Здесь введена дискретная передаточная функция W(z), которая, как и в случае непрерывных функций, есть отношение двух изображений (выходной и входной величин) при нулевых начальных условиях. Дискретная передаточная функция играет такую же роль в дискретных и цифровых система, как и обычная передаточная функция в непрерывных системах.