Аналитическое построение математической модели
Дифференциальное уравнение технического объекта строится следующим образом:
выбираются обобщенные координаты (1.1), характеризующие объект;
выбираются начальные условия;
определяются физические или химические закономерности, которым подчиняется поведение технического объекта;
выявляются факторы, влияющие на входные и выходные сигналы;
при наличии нелинейных характеристик уравнение по возможности линеаризуется.
Рассмотрим процедуру вывода дифференциальных уравнений типовых звеньев на примерах анализа работы элементов электрических цепей. Для этого понадобятся знания закона Ома и законов Кирхгофа. Вспомним законы Кирхгофа:
для токов. Алгебраическая сумма втекающих и вытекающих в узел токов равна нулю;
для напряжения. Алгебраическая сумма падения напряжения на элементах замкнутого контура равна нулю.
Пример 1.1.Моделью типового апериодического звена может служить пассивная R C цепь:
Если входным
воздействием считать напряжение Uo,
выходным -
,
и цепь считать ненагруженной, то,
воспользовавшись дифференциальными
уравнениями цепи, составленными на
основе уравнений Кирхгофа, можно
записать:
,
.
|
Учитывая, что
R*i+U=U0.
Далее воспользуемся
|
|
|
|
|
,
обозначим ток в цепи черезiи перепишем уравнение Кирхгофа для
напряжений, получим
известной формулой зависимости тока
на емкости от напряжения
,
подставим ее в уравнение, получим
.
Введем обозначение T = R * C, тогда
уравнение динамики примет стандартный
для звена вид
.Пример 1.2.Составим дифференциальное уравнение колебательного звена, аналогом которого, может быть контурR L C.
|
U R + U L + U C = U0; |
|
|
|
|
|
Введем
обозначения: T =
|
|
|
|
|
;
;
;
;
;
=
0.5 R
;
тогда уравнение динамики звена
примет стандартный вид:
.Отметим, что совершено различные по принципу действия и конструктивному исполнению устройства могут иметь одинаковые дифференциальные уравнения, что свидетельствует об одинаковом поведении процессов во времени. Аналогично рассмотренным примерам строится математическая модель любого технического объекта или системы.
Задачи проектирования многомерных систем управления
Проектирование многомерных систем управления включает:
формирование математической модели (уравнений) системы; расчет;
анализ; синтез. Чтобы приступить к автоматизированному проектированию, необходимо ввести информацию о системе управления. Обычно при вводе данных задаются коэффициенты уравнений, диапазоны изменения параметров, варьируемые параметры, начальные значения. Если блок управления будет синтезироваться, то задаются параметры объекта управления, его математическая модель и требования к его функционированию.
При расчете многомерных линейных непрерывных систем управления обычно используется матрица передаточных функций, на ее основе получают переходные и импульсно-переходные характеристики, рассчитывают влияние разброса параметров, строят амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики, определяют расположение полюсов и нулей передаточных функций. На основе расчета проводится анализ динамических характеристик, и определяются задачи дальнейшего проектирования. Обычно проектирование идет в направлении улучшения свойств системы за счет оптимальной настройки параметров. Если положительного результата добиться не удается, проектирование продолжается в направлении изменения схемы, что обеспечивает синтез. Синтез, как правило, выполняется с применением методов аналитического конструирования регуляторов (синтез структур), либо в направлении синтеза оптимальных управлений.
Отметим, что большую роль в организации автоматического или автоматизированного управления сложными объектами играет статистическая обработка информации, в результате которой должно быть принято определенное решение. При проектировании сложных систем таких как: систем одновременного управления большим количеством объектов, каждый из которых имеет возможность до некоторой степени самостоятельно определять свое поведение и принимать решения, может быть построено только на основе статистических методов.