- •Содержание
- •Математическое моделирование систем управления
- •Основные понятия
- •Математическое описание динамики сар
- •Аналитическое построение математической модели
- •Задачи проектирования многомерных систем управления
- •Преобразование Лапласа. Понятие передаточной функции
- •Типовые воздействия
- •Типовые звенья обыкновенных линейных систем
- •Идеальное интегрирующее звено (интегратор)
- •Идеальное дифференцирующее звено
- •Неидеальное интегрирующее звено
- •Дифференцирующее инерционное звено
- •Идеальное форсирующее звено
- •Апериодическое звено первого порядка
- •Колебательное звено
- •Топология систем управления. Способы соединения элементов
- •Последовательное соединение
- •Соединение с обратной связью
- •Вычисление передаточных функций
- •Свободное и вынужденное движение
- •Характеристическое уравнение. Понятие корневого годографа
- •Построение частотных характеристик
- •Методы анализа качества систем управления
- •Понятие устойчивости систем управления
- •Критерии устойчивости Гурвица и Рауса (алгебраические)
- •Критерии устойчивости Михайлова и Найквиста (частотные)
- •Корневые показатели качества
- •Анализ качества сау по переходной характеристике
- •Анализ качества сау по частотным характеристикам
- •Статические и астатические системы
- •Основы оптимизации и методы синтеза систем управления
- •Постановка задачи параметрической оптимизации
- •Методика решения задачи параметрической оптимизации
- •Синтез адаптивных систем управления
- •4.1.Постановка задачи синтеза самонастраивающихся систем
- •Процедура синтеза закона управления
- •Синтез адаптивного управления при помощи пи- регулятора
- •Экстремальные системы управления
- •Оптимальное управление
- •Аналитическое конструирование регулятора
- •Дискретные и цифровые системы управления
- •Общие сведения
- •Модели дискретных процессов
- •Квантование непрерывных сигналов и теорема прерывания
- •Использованиеz- преобразования
- •Устойчивость и качество дискретных систем
- •Цифровые системы управления
- •Отдельные вопросы теории управления
- •Управляемость и наблюдаемость
- •Инвариантные системы управления
- •Расчет и анализ чувствительности
- •Робастные системы управления
- •Литература
Критерии устойчивости Гурвица и Рауса (алгебраические)
Необходимое и достаточное условие устойчивости системы управления без решения характеристического уравнения было сформулировано Гурвицем в виде неравенств [3]. Пусть характеристическое уравнение системы управления имеет вид:
bo sn+b1 sn-1+ ... +bn = 0.
Тогда с учетом его коэффициентов может быть составлена матрица Гурвица:
При составлении матрицы Гурвица по диагонали записываются коэффициенты характеристического уравнения, начиная с b1. Строки вправо от диагонали заполняются коэффициентами в порядке возрастания индексов, а слева – в порядке убывания. Несуществующие коэффициенты ассоциируются с нулем. Гурвиц доказал, что для выполнения условия устойчивости, то есть для расположения всех корней характеристического уравнения в левой полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы приbo > 0все определители Гурвица (определители диагональных миноров матрицы Гурвица)
1 =b1 >0;2 => 0; ...
были положительными. Остановимся кратко на некоторых общих замечаниях. Вычисление определителей Гурвица высоких порядков непосредственным разложением их по элементам строки или столбца сопряжено с большим числом вычислений и неоправданной затратой времени, поэтому весьма полезны правила, упрощающие расчеты:
1) для расположения всех корней характеристического уравнения слева от
мнимой оси необходимо(но недостаточно), чтобы все коэффициентыbi
были одного знака;
2) обращение в нуль определителя i свидетельствует о появлении пары
чисто мнимых корней;
3) если все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то
все вещественные корни (если они есть) отрицательны. Комплексные
корни при этом могут лежать и в правой полуплоскости;
4) если в последовательности b0, b1, b2,…, bn имеется одна перемена знака, то
имеется один корень, лежащий в правой полуплоскости. Если число
перемен знака равно N > 1, то число таких корней равноN;
5) критерий Гурвица удобно применять для уравнений не выше четвертой
степени. Для более высоких степеней целесообразнее использовать
алгоритм Рауса, ориентированный на использование ЭВМ в расчетах.
Критерий Рауса состоит в следующем [4]. Положим, что найдена передаточная функция замкнутой автоматической системы в форме
.
Характеристическое уравнение при этом имеет вид:
= 0.
Составим таблицу, которая называется таблицей Рауса
Таблица 2.
Коэфф. |
i |
Столбец | |||
1 |
2 |
3 |
4 | ||
- |
1 | ||||
- |
2 | ||||
3 | |||||
4 | |||||
5 | |||||
… |
. |
… |
… |
… |
… |
i | |||||
… |
... |
… |
… |
… |
… |
Алгоритм составления матрицы Рауса очевиден. Сформулируем критерий устойчивости. Для того чтобы автоматическая система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
.
Если хотя бы один коэффициент характеристического уравнения отрицателен, то система неустойчива, а если равен нулю, то это свидетельствует о появлении пары чисто мнимых корней, что характерно для неустойчивых систем управления, либо находящихся на границе устойчивости. Число отрицательных коэффициентов равно числу правых полюсов. В таблице Рауса для упрощения расчетов элементы строк можно делить или умножать на положительные величины. Таблица, реализующая алгоритм Рауса, удобна для программирования на ЭВМ, поэтому с помощью этого метода можно исследовать на устойчивость системы высокого порядка, а также исследовать влияние на устойчивость отдельных параметров системы.