3. Критерии устойчивости Михайлова и Найквиста (частотные)

Частотные критерии устойчивости стационарных линейных систем были найдены Найквистом и Михайловым. Запишем характеристическое уравнение САУ при s = iс целью его рассмотрения в частотной области:

B(i) = b_n (i)ⁿ + b_n-1 (i)^n-1+ ...+ b_o = A () e ^{i ()} = P() + i Q() = 0.

При изменении от 0 до, векторB(i)начинает описывать в комплексной плоскости кривую, которую называют кривой Михайлова:

Михайлов доказал что, для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы вектор кривой B(i)при=повернулся, нигде не обращаясь в 0, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол (n)/2, гдеn- степень характеристического уравнения. Отметим, что в неустойчивых системах нарушается последовательность прохождения кривой Михайлова квадрантов комплексной.

В 1932 году Найквистом был опубликован критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике Z(j)разомкнутой системы, что позволило значительно упростить расчеты. Примем во внимание тот факт, что если система управления в разомкнутом состоянии неустойчива, то ее характеристическое уравнение имеетkкорней, лежащих в правой полуплоскостиs. Рассмотрим функцию

1+ Z(i) = 1 +.(2.1)

В числителе этой функции содержится характеристический полином замкнутой системы, в знаменателе – характеристический полином разомкнутой системы. Пусть степень полинома A(s) = a₀ s^m + a₁ s^m-1+ ...+ a_m

не выше степени nполиномаB(s)= b₀ sⁿ + b₁ s^n-1+ ...+ b_{n .}Тогда степени числителя и знаменателя (2.1) одинаковы и равныn. В плоскостиs функция1+ Z(i) изображается вектором, начало которого находится в точке (-1,0), а конец расположен на амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы.

Для того, чтобы установившееся движение в замкнутой системе было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы при возрастании  от0довектор1+ Z(i),скользящий своим концом по амплитудно – фазовой характеристике разомкнутой системы, повернулся вокруг точки (-1, j) в направлении по часовой стрелкеk/2раз, гдеk– число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. Под правыми корнями здесь понимаются корни, расположенные в правой полуплоскости комплексной плоскостиs.

4. Корневые показатели качества

Отметим, что основными показателями качества системы управления являются устойчивость, быстродействие и точность. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы управления считается выполнение условия:

_i < 0; (s_i =_i+j_i ,i=)

где s_i - корни характеристического уравнения замкнутой системы. Рассмотрим влияние вида корней характеристического уравнения замкнутой системы управления на поведение системы управления во времени в переходном и установившемся режимах при подаче на вход системы единичной ступенчатой функции.

1. s_i =  _i < 0, (i= 1,…,n)

2. s_i =  _i +j,  _i < 0, ( i = 1,…, n)

3. s _i =  _i > 0

4. s _i =  _i + j  _i, _i > 0,

h(t)

t

5. s_i = j, автоколебания

h(t)

t

Введем в рассмотрение область задания расположения корней характеристического уравнения эталоной (идеальной) САУ:

s_i , (=+j:-,> 0, |||| ).

Здесь приняты следующие обозначения: - степень устойчивости;- показатель колебательности. Областьвыглядит следующим образом:

где . Для оценки качества САУ в комплексной плоскости понадобятся знания следующих характеристик:

• степени устойчивости

 = | max Re(s_i)|, Re(s_i) < 0, ( i = 1,…, n),

запасом устойчивости по амплитуде называется относительное

увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы, при котором

устойчивая система доходит до границы области устойчивости;

• колебательности

 = |Im (s_дом) / Re (s_дом)|;  = arctg ,

колебательность обычно имеет значение 1 - 2, но в отдельных случаях

допускается до 3;

• времени регулирования

T_рег = (1/) ln (1/);

- демпфирования (затухания)

= 1 - exp(-2/),

демпфирование допускается в пределах 90-98%;

- переходной функции

• функции веса

В введенных формулах приняты следующие обозначения: s_i- корень характеристического уравнения;s_дом- доминантный полюс, то есть такой полюс, который имеет минимальный модуль;А(s)иВ(s)– соответственно полиномы числителя и знаменателя передаточной функции замкнутой системы;n- порядок полиномаВ(s);- малое действительное положительное число, характеризующее максимально допустимое отклонение процесса на выходе объекта управления от заданного после окончания переходного процесса.

Следует подчеркнуть, что корни полинома с действительными коэффициентами всегда являются либо действительными числами, либо попарно - сопряженными комплексными величинами.