4. Оптимальное управление

Синтез любой САУ выполняется на основе задачи управления, которая определяет основную цель при разработке системы управления [7]. Математическая формулировка цели управления (заданная точность, быстродействие и т.д.) называется задачей управления. Возможно, что спроектированая САУ не выполнит поставленную задачу с наилучшим результатом. Система, которая обеспечивает наилучшие показатели качества при заданных реальных условиях работы и ограничениях, называется оптимальной. При оптимизации САУ в каждом отдельном случае должен быть правильно выбран критерий оптимальности, выраженный в математической форме. Обычно для его определения требуется интегрировать во времени какую – либо функцию, которая зависит от текущего состояния объекта, т.е. критерий оптимальности является функционалом. В общем случае функционал зависит от координат выходного сигнала , управленияи возмущающих воздействийи может быть представлен в виде интеграла:

или в векторной форме:

,

где y, u, f – векторы координат выходного сигнала, сигналы управления и возмущения соответственно; - интервал времени.

Функционал, минимум которого необходимо найти, может представлять собой любую желаемую комбинацию различных критериев качества проектируемой САУ. Выбор критерия оптимальности является творческой инженерной задачей, которая может быть решена на основе всестороннего изучения управляемого объекта (процесса). Трудности, возникаемые при этом связаны с тем, что требования, предъявляемые к САУ, часто оказываются протеворечивы. Например, высоко точные САУ имеют ограниченное быстродействие, а быстродействующие – ограниченную точность. Кроме того, сложность решения задачи зависит от сложности принятого критерия. Если показатель качества соответствует большому количесву требований к САУ, то синтез ее возможен лишь численными методами для какой – нибудь частной задачи. Для нахождения решения в аналитической форме используются простые показатели качества, которые не могут отразить в полной мере многие важные требования.

Одним из применяемых на практике подходов к синтезу оптимального управления является синтез интеллектуальной системы управления, представляющей собой набор наиболее вероятностных стандартных ситуаций и соответствующих им оптимальных способов управления. Разработка и подготовка такой базы знаний позволяет при возникновении в ходе функционирования системы новой ситуации не начинать для нее синтез нового закона управления, а попытаться отнести ее к одной из имеющихся в базе знаний образцовых ситуаций и взять оптимальный способ управления, соответствующий этой образцовой ситуации. Такой подход к синтезу оптимального управления имеет большие перспективы в условиях дефицита времени и вычислительных ресурсов при неполной, нечеткой и противоречивой информации о внешней и внутренней обстановке.

Рассмотрим стандартный подход к синтезу оптимального управления.

Под оптимальностью будем понимать наилучшие свойства системы в смысле некоторого критерия оптимальности. Рассмотрим формулировку задачи оптимального управления Майера [8]. Пусть поведение объекта управления описывается уравнением:

(4.7)

Назовем допустимыми такие управления u_i(t):

| u_i(t) |u_i^*, (i=1,2,...n),

которые принимают значения из заданного множества U. Среди допустимых управлений, переводящих объект (4.7) из состоянияx(t₀) в состояниеx(t₁), требуется выбрать оптимальное, то есть такое, которое будет минимизировать функционал

.

Здесь x(t)– вектор фазовых координат.

Рассмотрим формулировку задачи оптимального управления на основе моделирования процессов в комплексной плоскости. Пусть объект управления описывается уравнением:

,

где p- вектор параметров объекта управления;х– вектор оптимизируемых параметров управляющей части САУ;g- вектор задающих воздействий;f- вектор возмущений. Отметим, что векторах,p, g, f– нестационарные.

Среди допустимых управлений переводящих объект из заданного состояния y(t₀)в состояниеy(t₁) требуется найти такое, для которого функционал (4.3) будет минимальным.