Глава 2. Математическая логика

Математическая логика – современный вид формальной логики, т.е. науки, изучающей умозаключения с точки зрения их формального строения. Логика изучает правильные способы рассуждений – такие способы рассуждений, которые приводят к верным результатам в тех случаях, когда верны исходные предпосылки.

«Если все вороны черные, то все нечерные предметы не вороны». Данное высказывание несомненно истинно, и для того чтобы это утверждать, вообще не нужно знать что ворон – это птица. Или другой пример: «Все граждане России имеют право на образование. Иванов – гражданин России. Значит, он имеет право на образование».

Легко заметить, что эти примеры составлены по одной формальной схеме: «Все суть . есть . Следовательно, есть ». Содержание терминов , , для справедливости этих умозаключений безразлично.

Традиционная логика берет начало в древней Греции и Риме. Недаром ее называют Аристотелевой. До начала 19–го века формальная логика практически не выходила за рамки такого рода силлогических умозаключений.

Однако, начиная с работ Джона Буля (труд «Законы мысли») можно говорить о превращении ее в математическую логику. Особенности математической логики заключаются в ее математическом аппарате, в преимущественном внимании к умозаключениям, применяемым в самой математике.

В 1910 году появились первые работы, связанные с применением логики высказываний для описания переключательных цепей в телефонной связи. А в 1938–1940 годах, почти одновременно в СССР, США и Японии появились работы о применении математической логики в цифровой технике.

Современная математическая логика включает два основных раздела: логику высказываний и логику предикатов. Логика предикатов является охватывающей по отношению к логике высказываний (как алгебра к арифметике).

Изучать математическую логику можно, пользуясь двумя подходами (языками) – алгеброй логики и логическими исчислениями. Между основными понятиями этих языков формальной логике существует взаимно однозначное соответствие, т.е. они изоморфны. Это объясняется единством законов логики, лежащих в их основе. Далее, при изучении математической логики, будет использовать в основном язык алгебры логики, так как он чаще используется в технических приложениях.

2.1. Логические операции

2.1.1. Основные определения математической логики

Высказывание – повествовательное предложение (утверждение, суждение), о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно. Истинность или ложность высказываний определяется отношением содержания утверждения к действительному положению вещей.

При изучении высказываний предполагается, что выполняются следующие законы традиционной логики:

• закон исключенного третьего – каждое высказывание либо истинно, либо ложно;

• закон противоречия – никакое высказывание не является одновременно истинным и ложным.

Эти предложения, очевидно, абсолютизируют свойства реальности и в действительности не всегда выполняются

Примеры высказываний: «дважды два – пять», «Сидоров – студент», «на дворе сентябрь», «зимой холодно». В ряде случаев истинность или ложность высказываний зависит от конкретной обстановки.

Будем называть высказывание простым (элементарным), если оно рассматривается нами как некое неделимое целое (аналогично элементу множества). Простым высказываниям в алгебре логики ставятся в соответствие переменные, принимающие значения «истина» или «ложь» и называемые по этой причине логическими переменными. Для упрощения записи мы будем использовать вместо слова «истина» символ 1, а вместо слова «ложь» символ 0. Обычно, определение истинности или ложности простых высказываний не представляет проблемы.

Примеры простых высказываний: "Земля вращается вокруг Солнца", "На улице идет дождь".

Сложным называется высказывание, составленное из простых с помощью логических связок. В естественном языке роль связок при составлении сложных предложений играют грамматические средства – союзы «и», «или», «не»; слова «если…то» и другие. В математической логике логические связки определены точно, как некоторые логические операции.

Примеры сложных высказываний: «На улице холодно и идет дождь», «Если вечером допоздна работаешь за компьютером и пьешь много кофе, то утром встаешь в плохом настроении или с головной болью».

Буквенные обозначения переменных, логические связки и скобки составляют алфавит логики высказываний. С помощью элементов алфавита можно построить разнообразные слова, которыми в логике высказываний являются логические формулы.

Логические формулы – алгебраические выражения, которые можно преобразовывать по определенным правилам, реализующим логические законы.

Пусть ={0,1} – бинарное множество, элементами которого являются формальные символы 0 и 1, не имеющие арифметического смысла и интерпретируемые как “нет”, “да”, или “ложь”, “истина”.

На этом множестве заданы операции, имеющие смысл логических связок. Результатом является алгебра логики.

Таким образом, алгебра логики – это алгебра, образованная множеством ={0,1} со всеми возможными логическими операциями на нем.

Функцией алгебры логики или логической функцией от переменных называется n–арная логическая операция на , т.е. .

Любая логическая функция является сложным высказыванием, любая логическая переменная – простым высказыванием.

Рассмотрим некоторые примеры построения логических формул.

Пример. Пусть имеется сложное высказывание – «Если социологические исследования показывают, что потребитель отдает предпочтение удобству и многообразию выбора, то фирме следует сделать упор на усовершенствование товара или увеличение многообразия новых форм».

Разобьем исходное высказывание на простые и поставим им в соответствие логические переменные:

– « социологические исследования показывают, что потребитель отдает предпочтение удобству»;

– «социологические исследования показывают, что потребитель отдает предпочтение многообразию выбора»;

– «фирме следует сделать упор на усовершенствование товара»;

– «фирме следует сделать упор увеличение многообразия новых форм».

Тогда логическая формула , эквивалентная исходному высказыванию, имеет вид: «если и , то или ».

Пример. Для высказывания «Если при выполнении программы отклонение контролируемых параметров превышает предусмотренные нормы, то требуется оперативная корректировка программы или уточнение стандартов», при обозначениях:

– «отклонение контролируемых параметров превышает предусмотренные нормы»;

– «требуется оперативная корректировка программы»;

– «требуется уточнение стандартов»,

логическую формулу можно записать в виде «если , то ».