Введение

Исторически, дискретная математика значительно старше своей сестры – математики непрерывной. Дискретную математику иногда называют «доньютоновской», потому, что именно во времена Ньютона был разработан математический аппарат составляющий основу непрерывной математики. Непрерывная математика имеет в основе понятие предела, на нем построены дифференциальное и интегральное исчисления, ряды и т.д. Без этого фундаментального понятия сложно было рассматривать непрерывные процессы. От Ньютона математика пошла в основном по непрерывному пути, так как обслуживала нужды физики, которая изучала непрерывные процессы (движение планет, процессы в жидкостях и газах и т.д.).

Возрождение дискретной математики в форме работ по теории множеств, математической логике, теории графов, комбинаторике относится к середине 19–го века и было вызвано исследованиями в области электрических сетей, моделей кристаллов и структур молекул, хотя отдельные работы появлялись и ранее. Например, известное рассуждение Эйлера о Кенигсбергских мостах, считающееся началом теории графов, было опубликовано в 1736 году.

Однако настоящий интерес к дискретной математике связан с появлением ЭВМ. ЭВМ позволили ввести математические методы в те научные дисциплины, в которых они никогда ранее не применялись. Дело в том, что эти науки требовали совсем иной математики, нежели та, что изучают традиционные инженеры. В них рассматриваются процессы, имеющие сугубо дискретную природу, не связанные с непрерывно меняющимися величинами. Это, например, лингвистика, экономика, медицина и т.д. Однако наибольшие запросы на методы дискретной математики были со стороны кибернетики, как науки об общих процессах управления в природе, технике и обществе.

Дискретная математика развивалась не только «вглубь», за счет новых работ в традиционных разделах, но и «вширь», за счет появления новых направлений. Появившиеся возможности решения прикладных задач, требующих большой числовой обработки, стимулировали развитие вычислительной математики и нового раздела математической логики – теории алгоритмов. Растущий объем информации и задачи ее переработки, хранения и передачи привели к возникновению теории кодирования. Типичными задачами поиска экстремумов дискретных систем являются задачи отыскания оптимальных стратегий игр. Задачи конструирования и описания работы сложных управляющих устройств привели к теории функциональных систем. На наших глазах бурно развиваются разделы дискретной математики связанные с защитой информации – криптография и т.п.

Предметом рассмотрения в дискретной математике являются дискретные методы формализованного представления, применяемые при исследовании, анализе и решении проблем управления, моделировании объектов исследования и их анализе. К ним относятся методы, основанные на теоретико–множественных представлениях, графы, алгоритмы, формальные системы, математическая логика, лингвистика и т.д.

Глава 1. Множества и отношения

Теория множеств является основой всего здания дискретной математики, так как определяет и упорядочивает круг объектов, с которыми работает дискретная математика.