2.1.2. Таблицы истинности
Функциональная
зависимость истинности сложного
высказывания
от истинности входящих в него элементарных
высказываний
может быть описана построением таблицы
истинности
сложного высказывания.
Так
как логические функции не имеют памяти,
их удобно представлять как некоторый
оператор, на который поступают входные
сигналы
,
как это показано на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Представление логических функций
Каждому
набору входных сигналов соответствует
некоторое значение выходной логической
переменной
.
Получив эти значения для всех возможных
входных наборов, будем иметь полную
информацию об истинностных значениях
логической функции.
Так
как каждая переменная может принимать
только два значения, возможны
различных двоичных наборов
,
каждому из которых ставится в соответствие
истинностное значение сложного
высказывания (логической функции).
Важно отметить, что число различных логических операторов (истинностных функций) конечно и зависит от числа аргументов логической формулы.
Истинностных
функций от
аргументов (рис. 2.1а) всего две: это
ноль–местные функции 0 и 1, называемые
также логическими константами. Т.е.
логический оператор на рис. 2.1а может
быть реализован лишь в двух вариантах,
либо как источник сигнала «истина» (0),
либо как источник сигнала «ложь» (1).
Истинностных
функций от
аргументов всего четыре:
-
функция–константа «ложь»:
при любом
; -
функция–константа «истина»:
при любом
; -
функция повторения:
при любом
; -
функция отрицания:
при
и
при
.
Указанные функции могут быть также заданы таблицей 2.1.
Таблица 2.1.
|
Значения переменных |
Значения функций |
|||
|
х |
Константа «0» |
Константа «1» |
Функция
повторения
|
Функция
отрицания
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Значения
двух первых функций не зависят от
переменной
.
Говорят, что переменная
является для данных функций фиктивной.
Истинностных
функций от
аргументов всего 16. Не все они одинаково
важны для практики, но, чтобы иметь
представление, представим эти функции
в виде таблицы 2.2.
Таблица 2.2.
|
Значения переменных |
Значения функций |
||||||||
|
|
|
ф |
|
|
ф |
|
ф |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
Константа 0 |
Коньюнкция, “и” |
|
Переменная
|
|
Переменная
|
Неравнозначность |
Дизъюнкция, “или” |
|
|
|
0 |
, |
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.2. (продолжение)
|
Значения переменных |
Значения функций |
||||||||
|
|
|
|
|
ф |
|
ф |
|
|
ф |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
Стрелка Пирса |
Эквивалентность |
Отрицание
|
Функция запрета |
Отрицание
|
Импликация |
Штрих Шеффера |
Константа 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Из 16 логических функций 6 имеют фиктивные переменные.