3.1.10. Планарность графов

Говорят, что граф укладывается на плоскости, т.е. является планарным или плоским, если его можно нарисовать так, что его ребра будут пересекаться лишь в концевых точках – вершинах. Изображение планарного графа на плоскости называется планарной укладкой. Определение планарности графов имеет большое практическое значение. Достаточно привести задачу разводки печатных плат, когда необходимо избежать пересечения проводников в местах, не предназначенных для соединений. Если изобразить места указанных соединений как вершины графа, то возникнет задача построения графа с непересекающимися ребрами. Важно отметить, что интерес представляет именно возможность построения графа с непересекающимися ребрами. Например, граф на рис. 3.20а изображен так, что его ребра пересекаются. Однако этот граф планарен, так как его легко перерисовать нужным образом (рис.3.20с).

На рис. 3.20 приведены примеры планарных графов, а на рис. 3.21 два основных непланарных графа, и , соответственно, которые обычно называют графами Куратовского.

Рис. 3.20. Планарные графы

Графы Куратовского считаются основными непланарными графами потому, что играют решающую роль в исследовании планарности графов.

Рис. 3.21. Непланарные графы (графы Куратовского)

Теорема. Граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит в качестве подграфа графа или .

До появления этой теоремы, определение планарности графа считалось одной из труднейших задач теории графов.

3.2. Сети

Одним из частных случаев графовых представлений является сеть. Сеть можно представить как систему, транспортирующую некий продукт из одной точки в другую. Примером может служить система нефтепроводов, где нефть течет из одних точек к другим. Используя такую концепцию, сеть можно представить как ориентированный граф, дуги которого передают продукт от одной вершины к вершине. Обычно, на этот граф наложены естественные ограничения. В частности:

• граф не содержит петель, так как это противоречит задаче транспортировки продукта;

• если есть дуга из вершины в вершину , то обратной дуги из в нет, т.е. поток продукта рассматривается только в одну сторону;

• граф должен быть связным.

Необходимыми элементами сети являются, по крайней мере, две вершины и , называемые обычно источником и стоком. Локальная степень вершины по входным дугам равна нулю, так что в источник ничто не втекает. Локальная степень вершины по выходным дугам равна нулю, так что из стока ничего не вытекает. Источники и стоки часто называют входными и выходными полюсами сети.

Определение. Сеть – это ориентированный граф , имеющий выделенные вершины – входные и выходные полюсы сети, такие, что локальные степени входных полюсов по входящим дугам и локальные степени выходных полюсов по выходящим дугам равны нулю.

Вершины, отличные от полюсов, называются внутренними вершинами сети. Ребро, инцидентное хотя бы одному полюсу, называется полюсным ребром.

Определение. –полюсником называется сеть с полюсами, разбитыми на два класса: входных и выходных полюсов.

Наибольший интерес представляют сети (1,1), называемые обычно двухполюсными сетями.

Будем называть цепью простую цепь между полюсами сети. Обозначим входной и выходной полюсы цепи символами и . Полюсные ребра образуют входную и выходную звезды, пересечение которых состоит из сквозных ребер (оно может быть пустым), инцидентных обоим полюсам.

Пример. На рис.3.21 приведена двухполюсная сеть, в которой входным полюсом (источником) является вершина , а выходным полюсом (стоком) – вершина . Направленные ребра и образуют входную звезду , ребра и образуют выходную звезду .