2.3. Синтез логических схем

Для того чтобы оценить полезность применения логических функций в решении практических задач и сформулировать вопросы для дальнейшего изучения, рассмотрим задачу проектирования системы управления табло для соревнований штангистов. Логика работы системы управления следующая. Подсвечивание табло «Вес взят» происходит по сигналу «1» , которое выдает устройство, обрабатывающее сигналы трех судей – . Судья – старший. Сигнал на подсвечивание выдается только тогда, когда все судьи или два из них нажали свои кнопки, но при этом одним из них должен быть старший судья.

Идея решения состоит в переходе от словесного описания логики работы устройства управления к логической формуле, с последующим ее преобразованием, упрощением и реализацией с помощью типовых логических компонентов. Фактически, словесное описание рассматривается как сложное высказывание.

Начнем решение данной задачи с построения таблицы истинности, исходя из сформулированных выше требований к работе системы управления. Таблица истинности для заданного устройства имеет следующий вид.

Таблица 2.8.

				Примечания
1	1	1	1	Все судьи «за»
1	1	0	1	Двое судей «за», в том числе и судья .
1	0	1	1	Двое судей «за», в том числе и судья .
1	0	0	0	Двое судей «против»
0	1	1	0	Судья «» против
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	0

Соответствующая логическая формула в СДНФ может быть записана следующим образом:

. (2.1)

Следующим этапом может являться техническая реализация полученной формулы в виде схемы, включающей логические устройства, реализующие булевы функции. Таких устройств три. Они носят названия: элемент «И», элемент «ИЛИ», элемент «НЕ» или инвертор. В частности, они могут быть реализованы на релейных элементах, как показано на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Элемент «И» Элемент «ИЛИ» Элемент «НЕ»

В общем случае элементы «И» и «ИЛИ» могут иметь не два, а произвольное число входов.

Общая схема управления табло, полученная по СДНФ, представлена на рис. 2.4. В ней использовано два элемента «НЕ», три трехвходовых элемента «И» и один трехвходовый элемент «ИЛИ».

Рис. 2.4. Схема управления табло

Дело, однако, в том, что использованное формульное представление данной логической функции не единственно. Той же самой таблице истинности соответствует еще, по крайней мере, одна булевская формула. Правило ее получения следующее:

• для каждого набора значений переменных , на котором функция равна 0, выписываются дизъюнкции всех переменных;

• над теми переменными, которые на этом наборе равны 1, ставятся отрицания;

• все такие дизъюнкции соединяются знаками конъюнкции.

Полученная таким образом формула называется совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) логической функции.

Формула, соответствующая таблице 2.8, в СКНФ имеет вид:

(2.2)

Построение для нее таблицы истинности (таб.2.9)показывает, что формулы (2.1) и (2.2) эквивалентны.

Таблица 9

111	0	0	0	1	1	1	1	1	1
110	0	1	0	1	1	1	1	1	1
101	1	0	0	1	1	1	1	1	1
100	1	1	0	0	1	1	1	1	0
011	0	0	1	1	0	1	1	1	0
010	0	1	1	1	1	0	1	1	0
001	1	0	1	1	1	1	0	1	0
000	1	1	1	1	1	1	1	0	0

Соответственно, схема логического устройства, реализующего формулу (2.2), будет иной. Легко посчитать, что для реализации этой формулы необходимы три инвертора, один блок перемножения на четыре входа и четыре трехвходовых блока логического сложения. Таким образом, с точки зрения технической реализации схемы отнюдь не равнозначны.

Более того, легко проверить (таб. 2.10), что ту же самую таблицу истинности имеет формула , которая требует для своей реализации всего один логический сумматор (элемент «ИЛИ») и один блок перемножения (элемент «И»).

Таблица 2.10

111	1	1
110	1	1
101	1	1
100	0	0
011	1	0
010	1	0
001	1	0
000	0	0

Пример. Провести синтез (до уровня логической формулы) устройства, предназначенного для включения и выключения света в длинной подземной галерее, имеющей два входа. В систему входят два выключателя и , установленные у входов в галерею и устройство управления лампами. Если в галерее никого нет, она не освещается. Входя в галерею через любой вход можно зажечь лампы, выходя через любой вывод – выключить.

Решение. Таблица истинности проектируемого устройства представлена ниже.

Таблица 2.11.

		Примечания
0 0	0	В галерее никого нет. Выключатели выключены.
0 1	1	Кто-то зашел через вход и включил освещение.
1 1	0	Выйдя через вход – выключил
1 0	1	Кто-то зашел через вход и включил освещение.

Соответствующая ей совершенная ДНФ имеет вид

.

Примеры.

Приведите булевы выражения, соответствующие коммутационным схемам.

Ответ: