- •Струков Валерий Григорьевич надежность механического оборудования
- •Введение
- •1. Понятия и термины теории надежности. Государственный стандарт на показатели надежности
- •1.1. Термины надежности машин
- •1.2. Показатели надежности машин
- •1.3. Наработка
- •1.4. Основные показатели долговечности
- •2. Математические методы теории надежности
- •2.1. Основные понятия и определения
- •2.2. Теоремы теории вероятностей
- •2.3. Законы распределения случайной величины
- •3.1.1. Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины
- •3.1.2. Дополнение интегральной функции распределения вероятностей случайной величины
- •3.1.3. Свойства интегральной функции распределения
- •3.1.4. Вероятность отказа объекта
- •3.1.5. Вероятность безотказной работы
- •3.1.6. Вероятность восстановления работоспособности
- •3.2. Дифференциальная функция распределения вероятностей случайной величины
- •3.2.1. Частота появления событий
- •3.2.2. График дифференциальной функции распределения вероятностей случайной величины
- •3.2.3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
- •3.2.4. Свойства дифференциальной функции распределения
- •3.3. Определение интегральной и дополнения интегральной функции распределения по известной дифференциальной функции
- •3.4. Вероятность появления события на интервале, следующем за интервалом, на котором событие не появлялось
- •3.5. Интенсивность событий
- •4. Числовые характеристики случайных величин
- •4.1. Математическое ожидание
- •2.4. Плотность распределения случайной величины
- •3. Единичные показатели надежности объекта (епно)
- •3.1. Законы распределения случайной величины
- •4.2. Рассеивание случайной величины
- •4.3. Гамма-процентное значение случайной величины
- •4.4. Медиана случайной величины
- •5. Безотказность системы
- •5.1. Безотказность объектов при последовательном соединении элементов
- •5.2. Безотказность объекта при параллельном соединении элементов
- •5.3. Безотказность объекта при смешанном соединении элементов
- •6. Распределения случайных величин
- •6.1. Экспоненциальное распределение
- •6.1.1. Дополнение интегральной функции экспоненциального распределения вероятностей случайной величины
- •6.1.6. Характеристическое свойство экспоненциального распределения
- •6.1.7. Линеаризация экспоненциальной функции
- •7. Нормальное распределение
- •7.1. Дифференциальная функция нормального распределения
- •7.1.1. Свойства дифференциальной функции нормального распределения
- •7.2. Правило трех среднеквадратических отклонений
- •7.3. Интегральная функция нормального распределения
- •7.4. Нормированное нормальное распределение
- •7.5. Логарифмически нормальное распределение
- •8. Распределение вейбулла
- •8.1. Дополнение интегральной функции распределения Вейбулла
- •9. Надежность восстанавливаемых объектов
- •9.1. Поток событий
- •9.1.1. Функция потока событий
- •9.1.2. Интенсивность потока событий
- •9.1.3. Среднее число потока событий
- •9.1.4. Среднее время между событиями потока
- •9.1.5. Интенсивность потока отказов за время эксплуатации
- •9.1.6. Простейший поток событий
- •9.1.7. Математическая модель простейшего потока событий
- •9.1.8. Поток событий совокупности объектов
- •9.2. Процесс эксплуатации восстанавливаемого объекта
- •9.2.1. Модель эксплуатации объекта с конечным временем восстановления
- •9.2.2. Вероятности состояний системы
- •9.2.3. Дифференциальные уравнения вероятностей состояний
- •9.3. Готовность объекта
- •9.3.1. Функция готовности объекта
- •9.3.2. Функция простоя
- •9.3.3. Финальные вероятности состояний
- •9.3.4. Коэффициент готовности
- •9.3.5. Коэффициент простоя
- •10. Повышение надежности машин
- •10.1. Обеспечение надежности при проектировании
3.3. Определение интегральной и дополнения интегральной функции распределения по известной дифференциальной функции
Для определения интегральной функции распределения по известной дифференциальной функции производим интегрирование функции f(x):
то есть
(16)
ной функции ния интегральной функции
Дополнение интегральной функции по формулам (8) и (16) определяется так:
Геометрически дополнение интегральной функции равно площади криволинейной трапеции P(x)=Sкр.трап., ограниченной осью х и графиком функции, правее точки х (рис. 13).
3.4. Вероятность появления события на интервале, следующем за интервалом, на котором событие не появлялось
Вероятность появления события на интервале, следующем за интервалом, на котором событие не появлялось, является условной вероятностью.
Для определения найдем сначала условную вероятность Pt(t) непоявления события на интервале t при условии непоявления события на предыдущем интервале t (рис. 14).
По теореме умножения вероятностей зависимых событий можно записать
P(t+t)=P(t)Pt(t), (17)
при условии непоявления события Рис.14. Интервалы времени
на предыдущем интервале t
(18)
то есть равна отношению вероятностей непоявления события в конце и в начале рассматриваемого интервала времени t.
Условная вероятность появления события (отказа, восстановления работоспособности) на интервале t при условии непоявления события на предыдущем интервале t
(19)
3.5. Интенсивность событий
Интенсивность событий (отказов, восстановления работоспособности) - функция (t), определяющая вероятность появления события в единицу времени в момент t при условии, что событие не появилось до момента t.
Интенсивностью событий является плотность вероятности появления события в момент t при условии, что событие не появлялось до момента t.
Условная вероятность появления события в единицу времени на интервале t из формулы (19) равна
Интенсивность событий получается в результате перехода в уравнении к пределу при t0
то есть
(20)
Интенсивность событий по статистической информации определяется как отношение числа объектов, отказавших в единицу времени, к числу объектов, работоспособных в данный момент времени:
где t - интервал времени от t до t+t; n(t) - число объектов, отказавших в интервале времени t; N(t) - число объектов, работоспособных в момент времени t.
Для определения вероятности появления событий через их интенсивность производим интегрирование. Из уравнения (20) имеем
-(t)dt
интегрируем его:
=lnP(t)-lnP(0)=lnP(t).
Откуда
P(t)= (21)