7.5. Логарифмически нормальное распределение

Логарифмически нормальное распределение - это распределение вероятностей неотрицательной случайной величины T, логарифм которой распределен по нормальному закону. Логарифмически нормальное распределение существует только для неотрицательных случайных величин, т.к. отрицательные числа логарифмов не имеют, поэтому оно удовлетворяет физическому смыслу неотрицательных величин.

Логарифмически нормальное распределение имеет ресурс объектов по сопротивлению усталости, т.е. число циклов нагружения до разрушения объекта.

Дифференциальная функция (плотность вероятностей) логарифмически нормального распределения имеет вид (рис. 27)

f(ln t)=exp, (53)

где ln t, ln T - логарифмы случайной величины T; <lnT> - математическое ожидание логарифма случайной величины; S_{ln t}=D(ln t) - дисперсия логарифма случайной величины T.

Рис. 26. Функция интенсив- Рис. 27. Дифференциальная

ности нормального распре- функция логарифмически

деления нормального распределения

Интегральная функция логарифмически нормального распределения

F(ln t)=P(ln T<ln t)=F₀.

8. Распределение вейбулла

Распределение Вейбулла имеет две разновидности: двухпараметрическое и трехпараметрическое.

На практике чаще встречается двухпараметрическое, которое получается из трехпараметрического при m=0. Запишем формулы для трехпараметрического распределения.

8.1. Дополнение интегральной функции распределения Вейбулла

Дополнение интегральной функции распределения Вейбулла задается уравнением (рис. 28)

P(t)=exp, (54)

где a- параметр масштаба, характеризующий степень растянутости кривой распределения вдоль оси t и связанный со средним значением случайной величины; b- параметр формы; m- параметр сдвига, являющийся минимально возможным значением случайной величины T.

Рис. 28. Дополнение интегральной функции распределения Вейбулла

8.2. Интегральная функция распределения Вейбулла

Интегральная функция распределения Вейбулла по формулам (8) и (54) равна

F(t)=1-exp. (55)

8.3. Дифференциальная функция распределения Вейбулла

Дифференциальная функция (плотность вероятностей) распределения Вейбулла по формулам (12) и (54) или (55) (рис. 29)

f(t)=exp. (56)

8.4. Интенсивность событий распределения Вейбулла

Интенсивность событий распределения Вейбулла по формулам (20), (54) и (56) (рис.30)

(t)=. (57)

Рис. 29. Дифференциальная функ- Рис. 30. Интенсивность собы-

ция распределения Вейбулла тий распределения Вейбулла

8.5. Математическое ожидание распределения Вейбулла

Математическое ожидание распределения Вейбулла определяем по формуле

T_cp=<T>= (58)

Вычисление интеграла (58) дает выражение

T_cp= a Г +m, (59)

где Г - гамма-функция.

Гамма-функцией от аргумента n называется функция

Для гамма-функции составляются таблицы.

8.6. Применение распределения Вейбулла

Распределение Вейбулла довольно широко используется. По своим свойствам оно занимает промежуточное положение между нормальным и экспоненциальным распределениями. В частном случае (при b=1, m=0) распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное, при этом параметр a=T_cp будет математическим ожиданием (средним значением) случайной величины T.

Из формулы (57) следует:

- при b>1 интенсивность событий монотонно возрастает;

- при b=1 интенсивность событий не изменяется во времени;

- при b<1 интенсивность событий монотонно убывает.

Скорость изменения интенсивности определяется значением b. Эта особенность распределения позволяет использовать его для описания безотказности объектов в течение трех периодов их эксплуатации:

- приработки;

- нормальной эксплуатации;

- старения.

Распределение Вейбулла получено в результате исследования распределения ресурса и срока службы объектов. Например, распределение Вейбулла имеют ресурс:

- подшипника качения (b=1,4...1,5);

- зубчатых колес редукторов (b=1,4...1,8);

- зубчатых муфт (b=1,5);

- тормозных обкладок (b=1,4);

- тормозных шкивов (b=1,5);

- ходовых колес кранов (b=2,0);

- электронных ламп (b=1,4...1,6) и т.д.