6.1.1. Дополнение интегральной функции экспоненциального распределения вероятностей случайной величины

Дополнение интегральной функции экспоненциального распределения вероятностей случайной величины Т задается уравнением (рис. 21)

P(t)=exp(-t)=exp[-], (37)

где t - длительность интервала времени, для которого определяются показатели надежности;  - параметр распределения, постоянная положительная величина, =; T_ср. - среднее значение (математическое ожидание) случайной величины Т.

6.1.2. Интегральная функция экспоненциального

распределения

Интегральная функция экспоненциального распределения по формулам (8) и (37) имеет следующий вид (рис. 22):

F(t)=1-exp(-t)=1-exp[-]. (38)

6.1.3. Дифференциальная функция экспоненциального

распределения

Дифференциальная функция (плотность распределения вероятностей) экспоненциального распределения по формулам (12) и (38) имеет вид (рис. 23)

f(t)=  exp(-t)=exp[-]. (39)

6.1.4. Интенсивность событий экспоненциального

распределения

Интенсивность событий экспоненциального распределения выражается уравнением

(t)===.

Интенсивность событий при экспоненциальном распределении - величина постоянная (рис. 24). Это справедливо только для экспоненциального распределения.

6.1.5. Среднее значение случайной величины

при экспоненциальном распределении

Среднее значение (математическое ожидание) случайной величины при экспоненциальном распределении определяется через дифференциальную функцию

T_cp.=<T>= f(t)dt= exp(-t)dt=.

Среднее значение случайной величины при экспоненциальном распределении равно обратной величине интенсивности событий. Этим свойством обладает только экспоненциальное распределение.

Рис. 21. График дополнения ин- Рис. 22. График интегральной

тегральной функции экспонен- функции экспоненциального

циального распределения распределения

Рис. 23. График дифференциаль- Рис. 24. График интенсив-

ной функции экспоненциального ности событий

распределения

6.1.6. Характеристическое свойство экспоненциального распределения

Характеристическое свойство экспоненциального распределения состоит в том, что вероятность появления события (отказа объекта, восстановления работоспособности объекта) на интервале времени длительностью t не зависит от длительности t предшествующего интервала времени, на котором событие не появлялось, а зависит только от длительности времени t при заданной интенсивности событий (рис. 25). Определим вероятность отсутствия событий на этих интервалах времени для экспоненциального распределения.

Вероятность отсутствия события на интервале (0;t+t) длительностью t+t

P(t+t)=exp[-(t+t)]=exp(-t-t)=exp(-t) exp(-t).

Вероятность отсутствия события на интервале (0,t) длительностью t

P(t)=exp(-t).

Вероятность отсутствия события на интервале (t,t++t) длительностью t

P(t)=exp(-t).

Условная вероятность отсутствия события на интервале (t,t+t) длительностью t, вычисленная в предположении, что событие не появлялось на предшествующем интервале (0,t) длительностью t

P_t(t)==exp(-t).

Получили формулу, не содержащую t, а только t. Это означает, что длительность предшествующего интервала времени, на котором событие не появлялось, не влияет на вероятность отсутствия события на последующем интервале. Эта вероятность зависит только от длительности Рис. 25. Интервалы времени

последующего интервала.

Полученный результат можно сформулировать иначе. Условная вероятность P_t(t)=exp(-t) отсутствия события на интервале длительностью t, вычисленная в предположении, что событие не появлялось на предшествующем интервале t, равна безусловной вероятности

P(t)=exp(-t).

Следовательно, при экспоненциальном распределении отсутствие события "в прошлом" не сказывается на вероятности его отсутствия (или появления) "в ближайшем будущем". Рассматриваемым свойством обладает только экспоненциальное распределение. Поэтому, если на практике изучаемая величина обладает этими свойствами, то она распределена по экспоненциальному закону.