- •Струков Валерий Григорьевич надежность механического оборудования
- •Введение
- •1. Понятия и термины теории надежности. Государственный стандарт на показатели надежности
- •1.1. Термины надежности машин
- •1.2. Показатели надежности машин
- •1.3. Наработка
- •1.4. Основные показатели долговечности
- •2. Математические методы теории надежности
- •2.1. Основные понятия и определения
- •2.2. Теоремы теории вероятностей
- •2.3. Законы распределения случайной величины
- •3.1.1. Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины
- •3.1.2. Дополнение интегральной функции распределения вероятностей случайной величины
- •3.1.3. Свойства интегральной функции распределения
- •3.1.4. Вероятность отказа объекта
- •3.1.5. Вероятность безотказной работы
- •3.1.6. Вероятность восстановления работоспособности
- •3.2. Дифференциальная функция распределения вероятностей случайной величины
- •3.2.1. Частота появления событий
- •3.2.2. График дифференциальной функции распределения вероятностей случайной величины
- •3.2.3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
- •3.2.4. Свойства дифференциальной функции распределения
- •3.3. Определение интегральной и дополнения интегральной функции распределения по известной дифференциальной функции
- •3.4. Вероятность появления события на интервале, следующем за интервалом, на котором событие не появлялось
- •3.5. Интенсивность событий
- •4. Числовые характеристики случайных величин
- •4.1. Математическое ожидание
- •2.4. Плотность распределения случайной величины
- •3. Единичные показатели надежности объекта (епно)
- •3.1. Законы распределения случайной величины
- •4.2. Рассеивание случайной величины
- •4.3. Гамма-процентное значение случайной величины
- •4.4. Медиана случайной величины
- •5. Безотказность системы
- •5.1. Безотказность объектов при последовательном соединении элементов
- •5.2. Безотказность объекта при параллельном соединении элементов
- •5.3. Безотказность объекта при смешанном соединении элементов
- •6. Распределения случайных величин
- •6.1. Экспоненциальное распределение
- •6.1.1. Дополнение интегральной функции экспоненциального распределения вероятностей случайной величины
- •6.1.6. Характеристическое свойство экспоненциального распределения
- •6.1.7. Линеаризация экспоненциальной функции
- •7. Нормальное распределение
- •7.1. Дифференциальная функция нормального распределения
- •7.1.1. Свойства дифференциальной функции нормального распределения
- •7.2. Правило трех среднеквадратических отклонений
- •7.3. Интегральная функция нормального распределения
- •7.4. Нормированное нормальное распределение
- •7.5. Логарифмически нормальное распределение
- •8. Распределение вейбулла
- •8.1. Дополнение интегральной функции распределения Вейбулла
- •9. Надежность восстанавливаемых объектов
- •9.1. Поток событий
- •9.1.1. Функция потока событий
- •9.1.2. Интенсивность потока событий
- •9.1.3. Среднее число потока событий
- •9.1.4. Среднее время между событиями потока
- •9.1.5. Интенсивность потока отказов за время эксплуатации
- •9.1.6. Простейший поток событий
- •9.1.7. Математическая модель простейшего потока событий
- •9.1.8. Поток событий совокупности объектов
- •9.2. Процесс эксплуатации восстанавливаемого объекта
- •9.2.1. Модель эксплуатации объекта с конечным временем восстановления
- •9.2.2. Вероятности состояний системы
- •9.2.3. Дифференциальные уравнения вероятностей состояний
- •9.3. Готовность объекта
- •9.3.1. Функция готовности объекта
- •9.3.2. Функция простоя
- •9.3.3. Финальные вероятности состояний
- •9.3.4. Коэффициент готовности
- •9.3.5. Коэффициент простоя
- •10. Повышение надежности машин
- •10.1. Обеспечение надежности при проектировании
9.2.2. Вероятности состояний системы
Важнейшими характеристиками поведения системы являются вероятности состояний системы.
Физическая система S со множеством состояний S1,S2,...,Si,..., Sj,...,Sn в любой момент времени t может быть в одном из этих состояний с вероятностями
P1(t),P2(t),...,Pi(t),...,Pj(t),…,Pn(t), (66)
которые называются вероятностями состояний системы. Здесь Pi(t) при i= 1,2,...,n - вероятность того, что система S находится в состоянии Si в момент времени t, т.е.
Pi(t)=P{S(t)=Si}.
Сумма всех вероятностей состояний системы для любого момента времени равна единице:
P1(t)+P2(t)+...+Pi(t)+...+Pj(t)+...+Pn(t)=.
Совокупность вероятностей состояний (66) не является исчерпывающей характеристикой процесса. Полное представление о случайном процессе в системе дают зависимости от времени вероятностей состояний системы, которые могут быть получены из решения системы линейных дифференциальных уравнений.
9.2.3. Дифференциальные уравнения вероятностей состояний
Дифференциальные уравнения вероятностей состояний системы в общем случае (уравнения Колмогорова) имеют вид
.
Дифференциальные уравнения составляют по размеченному графу состояний системы (рис. 36) и следующему правилу. Производная вероятности каждого состояния равна сумме всех потоков вероятности, идущих из других состояний в данное, минус сумма всех потоков вероятности, идущих из данного состояния в другие. Рис. 36. Граф. состояний
Потоком вероятности перехода объекта:
системы из состояния Si в состояние Sp - работоспособное сос-
Sj называется величина ij(t)Pi. тояние объекта (системы);
Отсюда дифференциальные ура- Sн - неработоспособное
внения: состояние объекта
=k(t)-K(t); (67)
=K(t)-k(t), (68)
где - интенсивность потока отказов; - интенсивность потока восстановлений.
Сумма всех вероятностей состояний объекта для любого момента времени равна единице, т.е. K(t)+k(t)=1.
Общее решение дифференциального уравнения (67) вероятности работоспособного состояния объекта называется функцией готовности и имеет вид
K(t)=C exp(-(+)t)+. (69)
Общее решение дифференциального уравнения (67) вероятности неработоспособного состояния объекта называется функцией простоя и имеет вид:
k(t)=C exp(-(+)t)+. (70)
Произвольная постоянная С определяется из начальных условий, зависящих от того, работоспособен или неработоспособен объект в момент времени t=0:
Кр(0)=1; kр(0)=0 - при работоспособном состоянии объекта,
Кн(0)=0; kн(0)=1 - при неработоспособном состоянии объекта.
9.3. Готовность объекта