Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Струков 07,11,2011.docx
Скачиваний:
36
Добавлен:
16.11.2018
Размер:
833.66 Кб
Скачать

9.2.2. Вероятности состояний системы

Важнейшими характеристиками поведения системы являются вероятности состояний системы.

Физическая система S со множеством состояний S1,S2,...,Si,..., Sj,...,Sn в любой момент времени t может быть в одном из этих состояний с вероятностями

P1(t),P2(t),...,Pi(t),...,Pj(t),…,Pn(t), (66)

которые называются вероятностями состояний системы. Здесь Pi(t) при i= 1,2,...,n - вероятность того, что система S находится в состоянии Si в момент времени t, т.е.

Pi(t)=P{S(t)=Si}.

Сумма всех вероятностей состояний системы для любого момента времени равна единице:

P1(t)+P2(t)+...+Pi(t)+...+Pj(t)+...+Pn(t)=.

Совокупность вероятностей состояний (66) не является исчерпывающей характеристикой процесса. Полное представление о случайном процессе в системе дают зависимости от времени вероятностей состояний системы, которые могут быть получены из решения системы линейных дифференциальных уравнений.

9.2.3. Дифференциальные уравнения вероятностей состояний

Дифференциальные уравнения вероятностей состояний системы в общем случае (уравнения Колмогорова) имеют вид

.

Интенсивности потоков ij(t) могут быть зависящими от времени и не зависящими от него.

Дифференциальные уравнения составляют по размеченному графу состояний системы (рис. 36) и следующему правилу. Производная вероятности каждого состояния равна сумме всех потоков вероятности, идущих из других состояний в данное, минус сумма всех потоков вероятности, идущих из данного состояния в другие. Рис. 36. Граф. состояний

Потоком вероятности перехода объекта:

системы из состояния Si в состояние Sp - работоспособное сос-

Sj называется величина ij(t)Pi. тояние объекта (системы);

Отсюда дифференциальные ура- Sн - неработоспособное

внения: состояние объекта

=k(t)-K(t); (67)

=K(t)-k(t), (68)

где  - интенсивность потока отказов;  - интенсивность потока восстановлений.

Сумма всех вероятностей состояний объекта для любого момента времени равна единице, т.е. K(t)+k(t)=1.

Общее решение дифференциального уравнения (67) вероятности работоспособного состояния объекта называется функцией готовности и имеет вид

K(t)=C exp(-(+)t)+. (69)

Общее решение дифференциального уравнения (67) вероятности неработоспособного состояния объекта называется функцией простоя и имеет вид:

k(t)=C exp(-(+)t)+. (70)

Произвольная постоянная С определяется из начальных условий, зависящих от того, работоспособен или неработоспособен объект в момент времени t=0:

Кр(0)=1; kр(0)=0 - при работоспособном состоянии объекта,

Кн(0)=0; kн(0)=1 - при неработоспособном состоянии объекта.

9.3. Готовность объекта