- •§ 1. Силы, действующие на петлю с током; энергия диполя
- •§ 2. Механическая и электрическая энергии
- •§ 3. Энергия постоянных токов
- •§ 5. Векторный потенциал и квантовая механика
- •§ 6. Что истинно в статике, но ложно в динамике?
- •Глава 16
- •§ 2. Трансформаторы и индуктивности
- •§ 3. Силы, действующие на индуцируемые токи
- •§ 4. Электротехника
- •Глава 17
- •§ 2. Исключения из «правила потока»
- •§ 3. Ускорение частицы в индуцированном электрическом поле; бетатрон
- •§ 4. Парадокс
- •§ 5. Генератор переменного тока
- •§ 6. Взаимная индукция
- •§ 7. Самоиндукция
- •§ 8. Индуктивность и магнитная энергия
- •Глава 18 уравнения максвелла
- •Уравнения Максвелла
- •Закон силы
- •Гравитация
- •§ 2. Что дает добавка
- •§ 3. Все о классической физике
- •§ 4. Передвигающееся поле
- •§ 5. Скорость света
- •§ 6. Решение уравнений Максвелла; потенциалы и волновое уравнение
- •I'лавa 19
- •Добавление, сделанное после лекции
- •Глава 20
- •§ 2. Трехмерные волны
- •§ 3. Научное воображение
- •§ 4. Сферические волны
- •Глава 21
- •§ 2. Сферические волны от точечного источника
- •§ 3. Общее peшeниe уравнений Максвелла
- •§ 4. Поля колеблющегося диполя
- •§5. Потенциалы движущегося заряда; общее решение Льенара и Вихерта
- •§ 6. Потенциалы заряда, движущегося с постоянной скоростью; формула Лоренца
- •Глава 22
- •§ 2. Генераторы
- •§ 3. Сети идеальных элементов; правила Кирхгофа
- •§ 4. Эквивалентные контуры
- •§ 5. Энергия
- •§ 6. Лестничная сеть
- •§ 7. Фильтры
- •§ 8. Другие элементы цепи
- •Глава 23 полые резонаторы
- •§ 2. Конденсатор на больших частотах
- •§ 3. Резонансная полость
- •§ 4. Собственные колебания полости
- •§ 5. Полости и резонансные контуры
- •Глава 24
- •§ 2. Прямоугольный волновод
- •§ 3. Граничная частота
- •§ 4. Скорость волн в волноводе
- •§ 5. Как наблюдать волны в волноводе
- •§ 6. Сочленение волноводов
- •§ 7. Типы воли в волноводе
- •§ 8. Другой способ рассмотрения волн в волноводе
- •Глава 25
- •§ 2. Скалярное произведение
- •§ 3. Четырехмерный градиент
- •§ 4. Электродинамика в четырехмерных обозначениях
- •§ 5. Четырехмерный потенциал движущегося заряда
- •§ 6. Инвариантность уравнений электродинамики
- •Глава 26
- •§ 2. Поля точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью
- •§ 3. Релятивистское преобразование полей
- •§ 4. Уравнения движения в релятивистских обозначениях
- •На отдельный заряд, находящийся в полях е и в, действует
- •Глава 27
- •Фиг. 27.1. Два способа описания сохранения заряда
- •§ 2. Сохранение анергии и электромагнитное поле
- •§ 3. Плотность энергии и поток энергии в электромагнитном поле
- •§ 4. Неопределенность энергии поля
- •§ 5. Примеры потоков энергии
- •§ 6. Импульс поля
- •Глава 28 электромагнитная масса
- •§ 2. Импульс поля движущегося заряда
- •§ 3. Электромагнитная масса
- •§ 4. С какой силой электрон действует сам на себя?
- •§ 5. Попытки изменения теории Максвелла
- •§ 6. Поле ядерных сил
- •Глава 29
- •§ 2. Анализатор импульсов
- •§ 3. Электростатическая линза
- •§ 4. Магнитная линза
- •§ 5. Электронный микроскоп
- •§ 6. Стабилизирующие поля ускорителей
- •§ 7. Фокусировка чередующимся градиентом
- •§ 8. Движение в скрещенных электрическом и магнитном полях
Фиг. 27.1. Два способа описания сохранения заряда
Суть в том, что требование лоренцевой инвариантности, как оказывается, удивительнейшим образом ограничивает возможные законы природы. В современной квантовой теории поля, например, теоретики часто пытаются изменить теорию, допустив то, что мы называем «нелокальным» взаимодействием, когда нечто, находящееся здесь, непосредственно влияет на нечто, находящееся там, но мы всегда наталкиваемся на трудности, связанные с принципами относительности.
«Локальные» же законы сохранения основаны на другой идее. Они утверждают, что заряд может перейти из одного места в другое только при том условии, что нечто такое происходит в пространстве между ними. Чтобы описать такой закон, нам нужна не только плотность заряда , но и величина другого сорта, именно вектор j, задающий скорость потока заряда через поверхность. При этом поток связан со скоростью изменения заряда уравнением (27.1). Это более сильная формулировка закона сохранения. Она говорит, что заряд сохраняется особым образом, сохраняется «локально».
Сохранение энергии, оказывается, тоже локальный процесс. В мире существует не только плотность энергии в данной области, но и вектор, представляющий скорость потока энергии через поверхность. Например, когда источник излучает свет, мы можем найти энергию света, излучаемого им. Если мы вообразим некую математическую поверхность, окружающую источник света, то потеря энергии этого источника равна потоку энергии через окружающую его поверхность.
§ 2. Сохранение анергии и электромагнитное поле
Нам надо теперь описать сохранение энергии в электромагнитном поле количественно. Для этого нужно выяснить, сколько энергии находится в единице объема, а также какова скорость ее потока. Рассмотрим сначала энергию только электромагнитного поля. Пусть и обозначает плотность энергии поля, т. е. количество энергии в единице объема пространства, а вектор S — поток энергии поля (т. е. количество энергии, прошедшее в единицу времени через единичную поверхность, перпендикулярную к потоку). Тогда, аналогично сохранению заряда (27.1), можно написать «локальный» закон сохранения энергии поля в виде
(27.2)
Конечно, этот закон, вообще говоря, не верен; энергия поля не сохраняется. Представьте, что вы находитесь в темной комнате, а затем поворачиваете выключатель. Комната внезапно наполняется светом, т. е. в ней оказывается энергия поля, которой раньше не было. Уравнение (27.2) не составляет полного закона сохранения, ибо энергия одного только поля не сохраняется, а существует еще энергия вещества; сохраняется лишь полная энергия во всем мире. Энергия поля будет изменяться, если оно производит работу над веществом или вещество производит работу над полем.
Однако если внутри интересующего нас объема находится вещество, то мы знаем, сколько энергии оно несет в себе: энергия каждой частицы равна m0c2/(l-v2/c2). Полная же энергия вещества равна просто сумме энергий всех частиц, а поток ее через поверхность равен просто сумме энергий, переносимой каждой частицей, пересекающей эту поверхность. Но сейчас мы будем иметь дело только с энергией электромагнитного поля: Так что мы должны написать уравнение, которое говорит, что Г полная энергия поля в данном объеме уменьшается либо в результате вытекания ее из объема, либо потому, что поле передает свою энергию веществу (или приобретает ее, что означает просто отрицательную потерю). Энергия поля в объеме V равна
а скорость ее уменьшения равна производной этого интеграла по времени со знаком минус. Поток энергии поля из объема V равен интегралу от нормальной компоненты S по поверхности 2, ограничивающей объем V:
Таким образом,
Раньше мы видели, что над каждой единицей объема вещества поле в единицу времени производит работу Е•j. [Сила, действующая на частицу, равна F=q(E+vXB), а мощность равна F-v=qE•v. Если в единице объема содержится N частиц, то эта мощность в единице объема равна NqE•v, a Nqv=j•I Таким образом, величина Е•j должна быть равна энергии, теряемой полем в единице объема за единицу времени. Уравнение (27.3) при этом приобретает вид
(27.4)
Вот как выглядит наш закон сохранения энергии в поле. Его можно записать как дифференциальное уравнение, подобное (27.2); для этого второе слагаемое нужно превратить в интеграл по объему, что легко делается с помощью теоремы Гаусса. Поверхностный интеграл от нормальной компоненты S равен интегралу от дивергенции S по объему, ограниченному этой поверхностью, так что уравнение (27.3) эквивалентно следующему:
где производную по времени от первого слагаемого мы внесли под интеграл. Поскольку это уравнение верно для любого объема, то интегралы можно отбросить и получить уравнение для энергии электромагнитного поля:
(27.5)
Однако это уравнение не даст нам ничего хорошего, пока мы не узнаем, что такое u и S. Быть может, мне следовало бы просто сказать вам, как они выражаются через Е и В, поскольку это единственное, что нам, собственно, нужно. Однако мне очень хочется изложить вам все те рассуждения, которыми в 1884 г. воспользовался Пойнтинг, чтобы получить формулы для S и u, с тем, чтобы вы понимали, откуда они взялись. (Для дальнейшей работы, впрочем, вам этот вывод не потребуется.)