§ 3. Ускорение частицы в индуцированном электрическом поле; бетатрон

Мы уже говорили, что э. д. с., созданная изменяющимся магнитным полем, может существовать даже в отсутствие проводников; т. е. магнитная индукция возможна без проводов. Мы можем представить себе э. д. с. вдоль произвольной мате­матической кривой в пространстве. Она определяется как тангенциальная компонента Е, проинтегрированная вдоль кривой. Закон Фарадея гласит, что этот контурный интеграл равен скорости изменения магнитного потока через замкнутую кривую [соотношение (17.3)].

В качестве примера действия такого индуцированного электрического поля мы сейчас рассмотрим движение электрона в из­меняющемся магнитном поле. Представим себе магнитное поле, которое всюду на плоскости направлено по вертикали (фиг. 17.4). Магнитное поле создается электромагнитом, но детали нас здесь интересовать не будут. В нашем примере мы предположим, что магнитное поле симметрично относительно некой оси, т. е. напряженность магнитного поля зависит только от расстояния до оси.

Фиг. 17.4. Электрон ускоряется в аксиально-симметричном магнитном поле, зависящем от времени.

Магнитное поле меняется также со време­нем. Представим теперь, что электрон в этом поле движется по круговой траектории постоянного радиуса с центром на оси поля. (Позже мы увидим, как можно создать такое движение.) Меняющееся магнитное поле создает электрическое поле Е, касательное к орбите электрона, которое будет двигать его по окружности. Вследствие симметрии это электрическое поле всюду на окружности принимает одну и ту же величину. Если орбита электрона имеет радиус r, то контурный интеграл от Е по орбите равен скорости изменения магнитного потока через окружность. Контурный интеграл от Е равен просто величине Е, умноженной на длину окружности 2r. Магнитный поток, вообще говоря, дается интегралом. Обозначим через B_ср — среднее магнитное поле внутри окружности; тогда поток равен этому среднему магнитному полю, умноженному на площадь круга. Мы получим (отвлекаясь от знака)

Поскольку мы предположили, что r—величина постоянная, то Е пропорционально производной по времени от среднего поля:

(17.4)

Электрон будет чувствовать электрическую силу qE и будет ею ускоряться. Помня, что на основании точного релятивистского уравнения движения скорость изменения импульса пропорцио­нальна силе, имеем

(17.5)

Для принятой нами круговой орбиты электрическая сила, действующая на электрон, всегда направлена по движению, поэтому полный импульс будет расти со скоростью, даваемой равенством (17.5). Комбинируя (17.5) и (17.4), можно связать скорость изменения импульса с изменением среднего магнитного поля:

(17.6)

Интегрируя по t, получаем следующее выражение для им­пульса электрона:

(17.7)

где р₀ — импульс, с которым электрон начинает двигаться, a B_cp — последующее изменение B_ср. Работа бетатрона — машины, ускоряющей электроны до больших энергий, основана именно на этой идее.

Чтобы понять, как работает бетатрон, необходимо представ­лять себе принцип движения электрона по окружности. В гл. 11 (вып. 1) мы уже обсуждали этот принцип. Если на орбите элект­рона создать магнитное поле В, возникнет поперечная сила qvXB, которая при соответствующем выборе В может заставить электрон двигаться по предположенной орбите. В бетатроне эта поперечная сила вызывает движение электрона по круговой орбите постоянного радиуса. Мы можем определить, каким должно быть магнитное поле на орбите, опять с помощью ре­лятивистского уравнения движения, но на этот раз для попереч­ной компоненты силы. В бетатроне (см. фиг. 17.4) поле В пер­пендикулярно v, поэтому поперечная сила равна qvB. Таким образом, сила равна скорости изменения поперечной компо­ненты импульса p_t:

(17.8)

Когда частица движется по окружности, Скорость изменения поперечного импульса равна величине полного импульса, умноженной на  — угловую скорость вращения (согласно аргу­ментам, приведенным в гл. 11, вып. 1):

(17.9)

где, поскольку движение круговое,

(17.10)

Полагая магнитную силу равной поперечному ускорению, имеем

(17.11)

где В_орб — поле при радиусе, равном r.

В приведенном в действие бетатроне импульс электрона, согласно выражению (17.7), растет пропорционально B_ср, и чтобы электрон продолжал двигаться по собственной окруж­ности, равенство (17.11) должно по-прежнему выполняться вместе с ростом импульса электрона. Величина B_opб должна расти пропорционально импульсу р. Сравнивая (17.11) с (17.7), определяющим р, мы видим, что должно выполняться следую­щее соотношение между В_ср — средним магнитным полем внутри орбиты радиуса r и магнитным полем В_ор6 на орбите:

(17.12)

Для правильной работы бетатрона нужно, чтобы среднее магнитное поле внутри орбиты росло в два раза быстрее магнитного поля на самой орбите. При этих условиях с ростом энергии частицы, увеличивающейся за счет индуцированного электри­ческого поля, магнитное поле на орбите растет как раз со ско­ростью, нужной для удержания частицы на окружности.

Бетатрон используется для разгона электронов до энергий в десятки или даже в сотни миллионов электронвольт. Однако по ряду причин для ускорения электронов до энергий, много больших нескольких сот миллионов электронвольт, эта машина становится невыгодной. Одна из этих причин — трудность достижения на практике требуемой высокой величины среднего магнитного поля внутри орбиты, а вторая — несправедливость формулы (17.6) для очень больших энергий, так как в ней не учитывается потеря энергии частицей за счет излучения электро­магнитной энергии (так называемое синхротронное излучение, см. гл. 34, вып. 3). По этим причинам ускорение электронов до самых больших энергий — до многих миллиардов электрон-вольт — совершается посредством машины другого рода, назы­ваемой синхротроном.